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Vedi le Memorie, α)Fondamenti per la geometria sopra le superficie razionali dal punto di vista reale [Mathem. Annalen 73 (1912) pp. 1–72], β)Sulla connessione delle superficie razionali reali [Questi Annali (3) 23 (1915) pp. 215–284]. La dimostrazione della (1) è in β), § 6.
Ricordiamo che, per una formula diPicard, il numero ρ0 degl'integrali doppì di 2a specie valeR 2 − ρ; quindi se tutti i cicli bidimensionali diV sono algebrici (R 2=ρ) si ha ρ0=0 e viceversa. L'espressione di ρ0 trovasi nel trattato diE. Picard-G. Simart,Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes [Paris, Gauthier-Villars (1897–1906)], T. 2o, Cap. 12o, n. 18, e, sotto la forma qui scritta, nella monografia diS. Lefschetz,L'Analysis situs et la géometrie algébrique [Paris, Gauthier-Villars (Collec. Borel) (1924)] Nota I, n. 15, alla quale (Cap. IV, segnatamente §§ VI, VII) rinviamo anche per quel che riguarda icicli algebrici. Si osservi poi che quando ρ0=0(R 2=ρ) la (2) può scriversi 301-1.
Secondo un teorema fondamentale delLefschetz (cfr. loco cit. (2),, Cap. IV, § VII) i cicli algebrici son caratterizzati dall'annullarsi dei relativiperiodi degl'integrali doppî di prima specie; quindi, sep g=0, mancando addirittura tali integrali, tutti i cicli sono algebrici. Non è ancor certo se, viceversa, una superficie priva d'integrali doppî di 2a specie sia anche priva d'integrali doppì di 1a specie (p g=0), cioè se possano esistere integrali doppì di 1a specie coi periodi tutti nulli (improprì). Cfr.S. Lefschetz,On certain numerical invariants of algebraic varieties, with application to abelian varieties, (Prix bordin, 1919) [Trans. of the Amer. Math. Soc. 22 (1921) pp. 327–482], n. 26;F. Severi,Conferencia general sobre la geometria algebraica [Revista Mat. Hispano-Americana (1926) n. 8].
LaR 2=I+2 rientra nella formula generale diPicard-Alexander,R 2=I+4 q +2 (q irregolarità diF). Cfr.Lefschetz, loco cit. (2), Cap. III, n. 10. Per la ρ=I+2 vedi la Mem. cit. (1) β), § 6, od ancheF. Severi,Sulla totalità delle curve algebriche tracciate sopra una superficie algebrica [Math. Annalen, 62 (1906) pp. 194–223] n. 13.
In un lavoro,Sulle riemanniane algebriche, in corso di pubblicazione nei Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo.
Cfr. loco cit. (1) α), nn. 8, 12.
Cfr. loco cit. (1) β) n. 8. Notiamo che la nostra definizione per l'ordine di connessione d'una falda è in pieno accordo con quella generale delLefschetz (loco cit. (2), Cap. I, n. 6) relativa agli ordini di connessione di varietà qualunque, ai quali si riferisce laformula di Eulero generalizzata (ibid., n. 8) sotto la forma che poi dovremo applicare.
Il caso delle superficie razionali o riferibili a rigate domanderebbe qualche complemento su cui crediamo di poter sorvolare. Ad ogni modo il primo è esaurientemente considerato al n. 13 della Mem, β) citata in (2).
Si ricordi (loco cit. (1) β), § 3) che mutando un punto d'una falda in una curva eccezionale se ne altera la connessione e che laV non è individuata di fronte alla relazione d'omeomorfismo se non quando suF è fissato ilregime delle curve eccezionali (quindi gl'invarianti relativi).
Lefschetz, loco cit. (2), Cap. II, n. 6.
Ibid., Cap. I, n. 12.
Invece nell'analogo caso relativo alle curve, è noto daKlein eWeichold chela superficie W è unilatera o bilatera, a seconda che V (colla simmetriaS)è diasimmetrica od ortosimmetrica. Cfr.F. Klein,Riemann'sche Flächen [Leipzig, Teubner (1906) Parte 3a, I, B, nn. 3–5;G. Weichold,Ueber symmetrische Riemann'sche Flächen und die Periodicitätsmoduln, ecc. [Zeitsch. für Math. u Phys. 28 (1883), pp. 321–351] §§ 3–4. Per la relazione traV eW nel caso delle curve vedi anche il lavoro (5), n. 5.
Cfr.Lefschetz, loco cit. (2), Cap. I, n. 8.
Se leW i mancano, cioè seF non ha punti reali, le α(i) della (5) devon porsi eguali allo zero, ed allora si vede che la (9) sussiste ancora purchè si pongaZ=2. Circa l'opportunità di attribuireconvenzionalmente ordine di connessione 2 alle superficie per così direinesistenti (topologicamente) vedi la nota (18) del lavor citato in (5).
Cfr.Lefschetz, loco cit. (2), Cap. I, nn. 3, 4, ed ancheO. Veblen,Analysis Situs (The Cambridge colloquium 1916) [Publ. by the Amer. Math. Soc., New York (1922)], Cap. IV, nn. 10, 25.
Vedi la prima delle Memorie,Sulle varietà abeliane reali. [Questi Annali (4) 2 (1924–25), pp. 67–106, e 3 (1925–26), pp. 27–71], n. 3.
Si noti chead un ciclo algebrico reale γ(γ′=γ)non può corrisopondere su Funa curva effettiva Γ. Difatti detta γ la coniugata, sarebbe γ′=−314-1, quindi γ+314-2=0 ed allora allacurva effettiva Γ+314-3 corrisponderebbe unciclo nullo, il che è assurdo (Lefschetz, loco cit. (2), Cap. II, n. 6). Invece ad unacurva virtuale come laA − 314-4 corrisponde effettivamente un ciclo α − 314-5=α+α′reale.
Vedi il lavoro citato (5), n. 5.
Vedi, anche per i cicli (20),Lefschetz, loco cit. (2), Cap. III, § VII.
F. Severi,Sulle corrispondenze fra i punti d'una curva algebrica, ecc. [Memorie della R. Acc. di Torino, 64 (1903), pp. 1–49], Parte 2a.
Cfr. loco cit. (19), Memoria I, prime righe del n. 3. Qui nulla importa aver ciclinon primitivi.
F. Severi,Sulle superficie che rappresentano le coppie di punti d'una curva algebrica. [Atti della R. Acc. di Torino, 38 (1903)], n. 6.
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Comessatti, A. Sulla connessione delle superficie algebriche reali. Annali di Matematica 5, 299–317 (1928). https://doi.org/10.1007/BF02415429
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02415429