Quadrature rules for Prandtl's integral equation

Abstract

In this paper we construct an interpolatory quadrature formula of the type

$$\mathop {\rlap{--} \smallint }\limits_{ - 1}^1 \frac{{f'(x)}}{{y - x}}dx \approx \sum\limits_{i = 1}^n {w_{ni} (y)f(x_{ni} )} ,$$

wheref(x)=(1−x)^α(1+x)^β f _o(x), α, β>0, and {x _ni} are then zeros of then-th degree Chebyshev polynomial of the first kind,T _n (x). We also give a convergence result and examine the behavior of the quantity$\sum\limits_{i = 1}^n {|w_{ni} (y)|}$ asn→∞.

Zusammenfassung

In dieser Arbeit konstruieren wir eine interpolatorische Quadraturformel der Form

$$\mathop {\rlap{--} \smallint }\limits_{ - 1}^1 \frac{{f'(x)}}{{y - x}}dx \approx \sum\limits_{i = 1}^n {w_{ni} (y)f(x_{ni} )} ,$$

wobeif(x)=(1−x)^α(1+x)^β f ₀(x), α, β>0, und {x_ni} dien Nullstellen des Chebyshevpolynomsn-ten Grades vom ersten TypT _n (x) sind. Ferner geben wir ein Konvergenzergebnis an und untersuchen das Verhalten der Größe$\sum\limits_{i = 1}^n {|w_{ni} (y)|}$, fürn→∞.