Approximating the inverse of a matrix for use in iterative algorithms on vector processors

Abstract

Most iterative techniques for solving the symmetric positive-definite systemAx=b involve approximating the matrixA by another symmetric positive-definite matrixM and then solving a system of the formMz=d at each iteration. On a vector machine such as the CDC-STAR-100, the solution of this new system can be very time consuming. If, however, an approximationM ⁻¹ can be given toA ⁻¹, the solutionz=M ⁻¹ d can be computed rapidly by matrix multiplication, a fast operation on the STAR. Approximations using the Neumann expansion of the inverse ofA give reasonable forms forM ⁻¹ and are presented. Computational results using the conjugate gradient method for the “5-point” matrixA are given.

Zusammenfassung

Die meisten iterativen Methoden zur Lösung des symmetrischen positiv-definitiven SystemsAx=b enthalten die Näherung der MatrixA durch eine andere symmetrische positiv-definitive MatrixM und anschließend daran die Lösung eines Systems der ArtMz=d bei jeder Wiederholung. Auf einer Vektor-Maschine wie der CDC-STAR-100 kann die Lösung dieses neuen Systems sehr zeitraubend sein. Wenn jedoch eine NäherungM ⁻¹ zuA ⁻¹ gegeben werden kann, so kann die Lösungz=M ⁻¹ d sehr schnell durch Matrixmultiplikation errechnet werden. Diese Kalkulation kann auf dem STAR schnell ausgeführt werden. Näherungen, bei denen die Neumann-Entwicklung der Inversen vonA verwendet wird, ergeben angemessene Ausdrücke fürM ⁻¹. Diese Ausdrücke sind angeführt. Die mit Hilfe der Konjugierten-Gradienten-Methode errechneten Resultate für die „5-Punk”-MatrixA sind angegeben.