An adaptive multi-grid algorithm for the numerical solution of quasilinear potential equations

Abstract

This paper describes an iterative method for the numerical solution of a class of quasilinear potential equations using an adaptive multi-grid algorithm (MG-algorithm). The method of solution has been illustrated using one iteration step of MG-cycle. The prolongation and restriction operators, which need coarse-to-fine as well as fine-to-coarse grid transfer, have been chosen of very simple linear structure. A simple error estimation has been carried out to show that the correction equation suggested in [2] has to be modified to get an efficient MG-algorithm. Another simple approach has been suggested which is based on a two-level version and uses a linear correction equation only on the coarser grid. We also present computational results of several numerical experiments applied on a specific example of the minimal surface problem. A comparison between our methods and other methods applied on the example of the minimal surface problem has been presented.

Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit soll eine iterative Methode zur numerischen Lösung einer Klasse von quasilinearen Potentialgleichungen mit Hilfe einer adaptiven Mehrgittermethode beschrieben werden. Das Prinzip der Mehrgittertechnik und der Lösungsalgorithmen werden anhand eines Iterationsschrittes des MG-Zyklus vorgestellt. Als Prolongations- und Restriktionsoperatoren, die für den Aufstieg grob-zu-fein bzw. für den Abstieg fein-zu-grob notwendig sind, haben wir eine einfache lineare Interpolation gewählt. Eine elementar durchgeführte Fehlerabschätzung zeigt, daß die von [2] vorgeschlagene Korrekturgleichung modifiziert werden soll, um einen effizienten MG-Algorithmus zu erzielen. Ein anderes Verfahren ist vorgestellt worden. Dies ist nur eine Zweigittermethode, die auf dem gröberen Gitter Linearisierunggen vornimmt. Die numerischen Ergebnisse der vorgestellten Mehrgittermethoden werden am Beispiel der Differentialgleichungen der Minimalflächen präsentiert. Ein Vergleich mit anderen Methoden ist am Beispiel der Minimalflächen durchgeführt.