Direkte Verfahren zur Berechnung der Nullstellen von Polynomen

Zusammenfassung

Wenn hinreichend genaue Näherungen für die Nullstellen eines Polynoms vorliegen, liefern numerische Iterationsverfahren Folgen von Näherungswerten, für welche die zugehörigen Folgen der Beträge der Funktionswerte monoton fallen. Es wird ein mit „Spiralisierung” bezeichneter zweidimensionaler Suchprozeß angegeben, mit dem man derartige Folgen für beliebige Ausgangsnäherungen erhält. Auf diese Weise gewinnt man direkte, d. h. für beliebige Näherungen konvergente Verfahren. Die Folgen der Näherungswerte werden durch Extrapolation verbessert. ALGOL-Prozeduren und numerische Ergebnisse für ein direktesNewton-Verfahren sowie für ein direktes Verfahren 3. Ordnung, das derMullerschen Methode verwandt ist, werden angegeben. Die Methoden lassen sich auch zur Berechnung der Nullstellen analytischer Funktionen verwenden.

Summary

If sufficiently exact approximations for the zeroes of polynomials are present then numerical iterative methods yield sets of approximations for which the corresponding sets of absolute values of the functional values are monotonous decreasing. It is described by a twodimensional searching process, named “method of spiral course”, how to get such sets for arbitrary starting approaches. In this way we get direct methods, that is to say convergent methods for arbitrary approaches. The sets of approaching values are improved by extrapolation. ALGOL procedures and numerical results are given for a directNewton method and a direct third order method, which has a relationship to theMuller method. The treated methods also can be used for the evaluation of the zeroes of analytical functions.