Über die asymptotische Konvergenzgeschwindigkeit des allgemeinen Relaxationsverfahrens bei nichtnegativen Matrizen

Zusammenfassung

In der folgenden Arbeit wird zunächst (Satz 3) ein Konvergenzintervall für das Relaxationsverfahren bei einer nichtnegativen Gesamtschrittmatrix mitpositiven Diagonalelementen angegeben. Außerdem wird die asymptotische Konvergenzgeschwindigkeit des Relaxationsverfahrens mit der des Einzelschrittverfahrens verglichen, und der optimale Relaxationsfaktor in diesem Intervall angegeben. Es wird ein weiteres Iterationsverfahren betrachtet, welches eine Verbesserung der asymptotischen Konvergenzgeschwindigkeit des Relaxationsverfahrens liefern kann. Der Beweis dieser Aussagen, beruht u. a. im wesentlichen auf Lemma 1, welches besagt, daß bei einer nichtnegativen konvergenten Matrix die Diagonalglieder notwendig kleiner als Eins sind. — Die weiteren Sätze enthalten ähnliche Aussagen bei allgemeineren Matrizen.

Summary

At first, an interval of convergence is obtained for the relaxation method with a non-negativeJacobi-matrix withpositive diagonal elements (Theorem 3). The asymptotic speed of convergence of the relaxation method is compared to that of the “Einzelschrittverfahren” and the optimal relaxation factor in the interval is given. A further iterative method is considered which may lead to an improved asymptotic convergence speed of the relaxation method. The proof of the assertions rests mainly on Lemma 1 which states that a non-negative convergent matrix has diagonal elements smaller than 1. Further theorems contain similar assertions for more general matrices.