Die Bestimmung optimaler Portefeuilles unter Ganzzahligkeitsbedingungen

Zusammenfassung

Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Lösung desMarkowitz-Modells zur Bestimmung optimaler Anlage-Portefeuilles unter Ganzzahligkeitsbedingungen. Zunächst wird das Problem formuliert und der Zusammenhang mit derMarkowitz-Formulierung dargestellt. Nach einer Diskussion des vonBrockhoff vorgeschlagenen Lösungsverfahrens, das nur fürn=2 Anlage-alternativen die optimale Lösung liefert, werden die Möglichkeiten der Lösung des nichtlinearen ganzzahligen Programmierungsproblems mit Hilfe des Verfahrens vonLawler-Bell gezeigt und die auf der IBM 360/65 erzielten Rechenergebnisse angegeben. Die relativ unbefriedigenden Rechenzeiten führen zu 2 Modifikationen desLawler-Bell-Algorithmus, mit denen sich einige Verbesserungen erreichen lassen. Darüber hinaus wird von den Verfassern ein spezieller Algorithmus zur Lösung des behandelten Problems entwickelt und ebenfalls getestet. Dieser Algorithmus ist ein primaler Branch-and-Bound-Algorithmus zur Maximierung (Minimierung) einer separierbaren Zielfunktion unter Nebenbedingungen. Von den Nebenbedingungen mu\ mindestens eine die FormG _h (y) ≤ 0 (G _h (y) ≥ 0) mit monoton wachsender (fallender) FunktionG _h (y) haben. Die Aufgabe mu\ in (0, 1)-Variablen formuliert sein. Abschlie\end werden 2 erst nach Beendigung der Untersuchung veröffentlichte Lösungsverfahren kurz besprochen und es werden die im Zusammenhang mit den Modifikationen desLawler-Bell-Algorithmus verwendeten Näherungsverfahren angegeben.

Summary

The portfolio-problem with integer constraints for all variables is formulated and several methods for solving this nonlinear integer programming problem are considered. First the method proposed byBrockhoff is discussed. This method is only valid forn=2 variables. ThenLawler andBell's zero-one variables algorithm is applied. Some numerical results, obtained from an IBM 360/65 are reported. To improve the efficiency ofLawler andBell's algorithm, two modifications are developed and tested.

SinceLawler andBell's algorithm even with these modifications is not very successful in solving the problem, the authors develop a special algorithm. This algorithm is a primal Branch-and-Bound-algorithm for maximising (minimising) a separable objective function under constraints. At least one of these contraints is assumed to be of the typeG _h (y) ≤ 0 (G _h (y) ≥ 0) withG _h (y) is monoton increasing (decreasing). The problem must be formulated in zero-one varaiables.

Some numerical results of this algorithm are reported. Furthermore two recently published methods for solving the integer portfolio problem are discussed. In section VI three methods for finding approximativ solutions are specified. Such solutions are necessary to apply the modifications ofLawler andBell's algorithm.