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Literatur
Vgl. etwa E. Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, Zweite Auflage, Berlin 1878–81 (G. Reimer),1, S. 199. — Ferner ebenda Handbuch der Kugelfunktionen, Zweite Auflage, Berlin 1878–81 (G. Reimer),1, S. 441.
D. h. im Lebesgueschen Sinne.
D. h. mit Ausnahme einer Menge, deren Lebesguesches Maß gleich 0 ist.
Die Quadratwurzeln aus positiven Größen sind stets positiv zu verstehen.
Vgl. E. Heine, Handbuch,1, S. 286–297, ferner2, S. 19–31. — Vgl. auch O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Leipzig und Berlin 1913 (B. G. Teubner), S. 379.
Jacobi, Werke,6, S. 285.
Vgl. über diese Fragen O. Blumenthal, Über die Entwickelung einer willkürlichen Funktion nach den Nennern des Kettenbruches usw. Göttinger Dissertation 1898, Einleitung. — Diese Dissertation hat die Veranlassung zu diesen meinen Untersuchungen gegeben.
Ist z. B.p (x) ein Polynom, welches für −1≦x≦1 positiv ist, und bezeichnet man seine Nullstellen mitx 1,x 2,...,x k , so zeigt man unschwer, daß (abgesehen von einem konstanten Faktor) die Formel gilt
Erste Mitteilung (Mathematische Zeitschrift6 (1920), S. 167–202); eine zweite Mitteilung ist unter der Presse. Ich zitiere diese Arbeit im folgenden kurz mit B.
ā bezeichnet die zu a konjugiert komplexe Größe.
Vgl. B, § 14.
Vgl. über diese Benennung G. Frobenius, Über das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen (Journal für die reine und angewandte Mathematik114 (1895), [S. 187–230], § 8).
Ich bewies diesen Satz (nicht ganz in der hier mitgeteilten allgemeinen Form) in einer ungarischen Arbeit: A Hankel féle formákról (Mathematikai és természettudományi értesitő36 (1918), [S. 497–538] S. 523).
Die Nullstellen vonQ n (x) sind alle reell, voneinander verschieden und im Innern des Intervalls −1≦x≦1 enthalten. Vgl. etwa O. Perron, a. a. O. Die Lehre von den Kettenbrüchen, Leipzig und Berlin 1913 (B. G. Teubner), S. 368, Hilfssatz 3.
Vgl. B, § 11.
Vgl. B. § 12.
Vgl. B, §§ 7 und 14.
Istf(−θ)=f(θ), d. h.f(θ) eine gerade Funktion, so ist offenbarg(θ,r) eine Kosinus-Reihe, also haben die Funktioneng(z) undD (z) lauter reelle Koeffizienten.
Séries trigonométriques et séries de Taylor (Acta Mathematica 30 (1906), [S. 335–400] S. 377–379).
Vgl. L. Fejér, Über trigonometrische Polynome (Journal für die reine und angewandte Mathematik146 (1916), S. 53–82).
Vgl. Heine, Handbuch,1, S. 287.—Man bemerkt hier leicht einen Parallelismus, der zwischen der Theorie der rekurrierenden Formen einerseits und der Toeplitzschen Formen andererseits besteht. Vgl. darüber meine Arbeit B, Einleitung.
Diese Formel gestattet mannigfache Anwendungen. Vgl. Einleitung und Fußnote 15).—Vgl. auch J. Chokhate, Sur quelques propriétés des polynomes de Tchebicheff (Comptes Rendus166 (1918), S. 28–31).
Vgl. Heine, Handbuch,1, S. 178, wo diese Formel fürp (x)=1, d. h. für Legendresche Polynome abgeleitet wird.
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Szegő, G. Über die Entwickelung einer analytischen Funktion nach den Polynomen eines Orthogonalsystems. Math. Ann. 82, 188–212 (1921). https://doi.org/10.1007/BF01498664
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