Force- and loss-free transitions between flow states

Summary

Force- and loss-free transitions between flow states in channels and vortex tubes are investigated. It is shown that in general a force-free transition appears either as a single transition which produces an entropy increase and connects an upstream supercritical flow state to a downstream subcritical flow state, or it appears as a two-stage transition, in which an isentropic transition leading to a second supercritical flow state is followed by a transition which produces an entropy increase and leads to a subcritical flow state. Depending on the downstream boundary condition either the single or the two-stage transition appears. For a certain regime of downstream boundary conditions both types of transitions are possible. Which of the two appears depends upon the startup of the flow. The result is a hysteresis. It is suggested that a particular kind of vortex breakdown can be understood in terms of the two transition types considered. Moreover, an apparent paradox is resolved which is associated with the fact that a vortex flow in a diffuser approaches the critical state. The analysis is based on an extension of a variational principle proposed by Benjamin [1]. Complete numerical results are presented which show loss-free transitions (including their internal structure) in a Rankine vortex.

Zusammenfassung

Es werden kräfte- und verlustfreie Übergänge zwischen Strömungszuständen betrachtet. Es wird gezeigt, daß ein allgemeiner kräftefreier Übergang entweder als einfacher anisentroper Übergang auftritt, der von einem überkritischen zu einem unterkritischen Strömungszustand führt, oder als zweistufiger Übergang, wobei einem isentropen Übergang, der zu einem zweiten überkritischen Strömungszustand führt, ein anisentroper nachfolgt, der schließlich zu einem unterkritischen Zustand führt. Ob der einfache oder der zweistufige Übergang auftritt, hängt von der stromabwärts aufgeprägten Randbedingung ab. Innerhalb eines bestimmten Bereiches solcher Randbedingungen sind beide Arten von Übergängen möglich. Es hängt in diesem Fall von der Vorgeschichte ab, welche der Übergangsarten auftritt. Die Lösung besitzt also einen Hysteresecharakter. Es wird postuliert, daß eine Art von „ortex-Breakdown“ mit Hilfe dieser beiden Übergangsarten erklärt werden kann. Außerdem wird ein scheinbares Paradoxon geklärt, welches mit der Tatsache zusammenhängt, daß eine Wirbelströmung in einem Diffusor dem kritischen Zustand entgegenstrebt. Die Theorie basiert auf einer Verallgemeinerung eines von Benjamin [1] vorgeschlagenen Variationsprinzips. Es werden vollständige numerische Resultate angegeben, die verlustfreie Übergänge (einschließlich ihrer inneren Struktur) in einem Rankine'schen Wirbel zeigen.