Moleküle

Zusammenfassung

In den meisten Fällen kommen Atome nicht isoliert vor, sondern treten zu Molekülen oder zu Festkörperkristallen zusammen. Moleküle dagegen können einzeln existieren, beispielsweise in gasförmigem O${}_{\text{2}}$ oder N${}_{\text{2}}$, aber sie können sich auch zu Flüssigkeiten oder Festkörpern vereinigen. Ein Atom bzw. ein Molekül ist der kleinste Baustein einer Substanz, der ihre chemischen Eigenschaften beibehält.

Mikroskopaufnahme von Natriumfluoridkristallen. Häufig wird dem Trinkwasser Natriumfluorid zugesetzt, weil das Spurenelement Fluor der Zahngesundheit zuträglich ist. (© National Institutes of Health/Science Photo Library.)

? Wie viel Energie wird bei der Bildung von Natriumfluorid aus den Elementen umgesetzt? (Siehe Beispiel 35.1.)

Appendices

Im Kontext: Molekülschwingungen und Infrarotspektroskopie

Atome sind in einem Molekül zwar miteinander verbunden, aber trotzdem in der Lage, sich gegeneinander ein wenig zu bewegen. Periodische Bewegungen der Atome relativ zueinander werden als Molekülschwingungen bezeichnet. Die (Eigen-)Frequenz der Schwingung hängt von der Stärke der Bindungen und den Atommassen der beteiligten Atome ab: Die Frequenz ist umso niedriger, je schwächer die Bindung und je größer die schwingenden Atommassen sind. Zum Beispiel liegt die Biegeschwingung von Wasser ($\mathrm{H_{2}O}$) bei 49 THz und die von schwerem Wasser ($\mathrm{D_{2}O}$) bei 36 THz. Schweres Wasser hat jeweils ein Neutron mehr im Kern der Wasserstoffatome, wodurch sich die Atommassen erhöhen und somit die Frequenz der Biegeschwingung erniedrigt wird.

Die Schwingungsfrequenz $\nu$ entspricht einer bestimmten Anregungsenergie $E=h\nu$. Die Anregungsenergie liegt für viele Molekülgruppen im infraroten Bereich des elektromagnetischen Spektrums. Bestrahlt man einen Stoff mit Infrarotstrahlung, so werden diejenigen Frequenzen der Strahlung von dem Stoff absorbiert, die zu den Schwingungsübergängen der beteiligten Bindungen „passen“. Bei einem unbekannten Stoff ergibt somit die Lage der absorbierten Frequenzen Auskunft über die beteiligten Bindungen. Das Prinzip wird z. B. zur Bestimmung des Alkoholgehalts in der Atemluft angewandt. Hierbei wird gemessen, wie viel Infrarotstrahlung die vermessene Atemluft im für Ethanol typischen Frequenzbereich absorbiert.

Infrarote Strahlung wurde zum ersten Mal von dem Astronomen und Musiker Friedrich Wilhelm Herschel im Jahr 1800 dokumentiert.¹ Bei Experimenten mit Sonnenlicht nutzte er ein Prisma, um das einfallende Licht in seine unterschiedlichen Farbanteile aufzuspalten und die jeweilige Temperatur zu messen. Im Laufe der Experimente stellte er fest, dass sich nicht nur die Temperatur von den mit sichtbarem Licht bestrahlten Thermometern erhöhte, sondern auch die Temperatur von Thermometern, die sich außerhalb des mit sichtbarem Licht bestrahlten Bereichs befanden. Herschel hat daher mit seinem Experiment den durch unser Auge begrenzten Wahrnehmungs- bzw. Frequenzbereich überschritten und damit einen für uns nicht sichtbaren Spektralbereich entdeckt. Später wurde dieser nicht sichtbare niederfrequente Spektralbereich, der sich an das rote Licht anschließt, Infrarotstrahlung genannt (vom lateinischen infra für „unter“, „unterhalb“). Das erste Infrarotspektrum wurde später vom Sohn Herschels, John Frederick William Herschel, aufgezeichnet.

Während anfangs die Sonne als Infrarotstrahlungsquelle diente, wurde im Laufe der Jahre Infrarotspektroskopie mit elektrischen Heizwiderständen als Lichtquellen etabliert. Die Kopplung von Infrarotspektrometern mit Infrarotmikroskopen erlaubt heutzutage, die Orientierung und Verteilung von Makromolekülen in anisotropen Materialien zu messen. Ein anderer Vorteil von Infrarotmikroskopen ist die Möglichkeit der Charakterisierung von kleinsten Proben. Anwendungen finden sich in verschiedensten Forschungsbereichen, z. B. in der Materialforschung, um die Orientierung von Polymeren in Plastikfilmen zu bestimmen, oder in der medizinischen Forschung, um die Struktur von Proteinen zu messen. Die laterale Auflösung ist hierbei in der Regel durch die endliche Strahlungsintensität der Infrarotquelle begrenzt, da bei hohen Vergrößerungen innerhalb des Infrarotmikroskops nicht genügend Strahlung auf die Probe fokussiert werden kann.

Inzwischen dienen auch Teilchenbeschleuniger wie z. B. Synchrotron-Elektronenspeicherringe als Lichtquelle für infrarote Strahlung. Bei einem Elektronensynchrotron werden Elektronen auf 99,99998 % der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt. Mithilfe von Magnetfeldern werden die beschleunigten Elektronen auf eine Kreisbahn gelenkt, wobei sie elektromagnetische Strahlung in Vorwärtsrichtung, tangential zur Elektronenbahn des Speicherrings abgeben. Diese Synchrotronstrahlung zeichnet sich unter anderem durch ein kontinuierliches Spektrum von Infrarot- bis hin zur Röntgenstrahlung mit hoher Strahlungsintensität sowie schwacher Divergenz aus.

Im Tunnel des ALBA Synchrotrons. Die Elektronen werden durch die mattgraue Vakuumröhre gelenkt, welche sich ganz links im Bild befindet. Links ist der Booster-Vorbeschleuniger zu sehen, welcher die Elektronen von 100 MeV auf 3 GeV beschleunigt. Rechts befinden sich der Speicherring inklusive Magnete (Quadrupolmagnete in Blau, Sextupolmagnete in Gelb) sowie die kupferfarbenen Radiofrequenzkavitäten zur Beschleunigung der Elektronen. (© Pepo Segura, ALBA Synchrotron)

Angeschlossen an ein Infrarotmikroskop können mit dem infraroten Anteil der Synchrotronstrahlung Molekülverteilungen in anisotropen Proben mit höherer lateraler Auflösung gemessen werden.² Die laterale Auflösung ist hierbei nicht durch die Intensität der Strahlung, sondern durch Beugung des Lichts und somit durch die Wellenlänge der Infrarotstrahlung (Rayleigh-Kriterium) begrenzt. Hierbei ist der kleinste messbare Abstand zweier Strukturen gegeben durch

$$a=\frac{0{,}61\cdot\lambda}{n\cdot\sin\Uptheta}\,.$$

(Dabei ist $\lambda$ die Wellenlänge, $n$ der Brechungsindex und $\theta$ der halbe objektseitige Öffnungswinkel.)

Dabei erhält man bei der Infrarotmikroskopie typischerweise Auflösungsgrenzen in Größenordnungen der verwendeten Wellenlängen (2–50 ${\upmu}$m).

Infrarotmikroskopie mit Synchrotronstrahlung wird beispielsweise als analytische Methode zur Identifizierung von Materialien in historischen Gemälden verwendet.³ Hierzu werden kleinste Proben von Gemälden genommen und die individuellen Farbschichten untersucht, um deren chemische Zusammensetzung zu analysieren. Die Technik ist auch im medizinischen Bereich weit verbreitet. Hierbei können ganze Gewebeproben von Patienten oder auch einzelne Zellen vermessen werden. An Biopsien von Krebspatienten können z. B. Stadien und Größen von Tumoren bestimmt werden.

Um das Beugungslimit zu umgehen, werden zurzeit optische Nahfeldtechniken erprobt und verwendet. Ein Ansatz hierbei besteht darin, die Spitze eines Rasterkraftmikroskops mit infrarotem Licht zu bestrahlen und nahe an die Probenoberfläche heranzubringen.⁴ Das rückgestreute Licht der Spitze enthält die gewünschten spektroskopischen Informationen von der Probe. Hierbei hängt die laterale Auflösung nicht mehr von der Wellenlänge der Strahlung ab, sondern von der deutlich geringeren Größe der dabei verwendeten Spitze, die bis zu 40 nm betragen kann. Dadurch konnte das Auflösungsvermögen um einen Faktor 100 verbessert werden, um beispielsweise Nanopartikel in Schichten von Mehrstoffgemischen zu lokalisieren.

• 1. Herschel, W. (1800). XIV. Experiments on the refrangibility of the invisible rays of the sun. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 90, 284–292. http://doi.org/10.1098/rstl.1800.0015

• 2. Yousef, I., Ribó, L., Crisol, A., Šics, I., Ellis, G., Ducic, T., … Aranda, M. A. G. (2017). MIRAS: The Infrared Synchrotron Radiation Beamline at ALBA. Synchrotron Radiation News, 30(4), 4–6. http://doi.org/10.1080/08940886.2017.1338410

• 3. Salvadó, N., Butí, S., Aranda, M. A. G., & Pradell, T. (2014). New insights on blue pigments used in 15th century paintings by synchrotron radiation-based micro-FTIR and XRD. Analytical Methods, 6(11), 3610. http://doi.org/10.1039/c4ay00424h

• 4. Bechtel, H. A., Muller, E. A., Olmon, R. L., Martin, M. C., & Raschke, M. B. (2014). Ultrabroadband infrared nanospectroscopic imaging. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 111(20), 7191–6. http://doi.org/10.1073/pnas.1400502111

Dr. Martin Kreuzer, geboren in Vöhl Obernburg, studierte an der Albert-Ludwigs-Universität Freiburg und Technischen Universität Berlin Physik. Er promovierte an der Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg in Kollaboration mit dem Helmholtz-Zentrum Berlin mit einer Arbeit zum Aufbau eines Experiments zur Kombination von Neutronenreflektometrie und Infrarotspektroskopie (BioRef). Er ist Wissenschaftler an der Messstation für Infrarotmikroskopie (MIRAS) am spanischen Synchrotron ALBA. Das Foto zeigt ihn mit dem sichtbaren Anteil der Synchrotronstrahlung. (© Martin Kreuzer, ALBA Synchrotron)

Zusammenfassung

• 1. Isolierte Atome kommen in der Natur selten vor; meist treten sie zu Molekülen oder zu Festkörperkristallen zusammen.

• 2. Die ionische und die kovalente Bindung sind die wichtigsten Bindungsmechanismen in Molekülen. Hinzu kommen in Flüssigkeiten und Festkörpern die Van-der-Waals-Bindung und die metallische Bindung. Wasserstoffbrückenbindungen sind für den relativ hohen Siedepunkt des Wassers verantwortlich, aber auch für die Sekundärstruktur großer biologischer Moleküle, beispielsweise der DNA und der Proteine.

• 3. Wie Atome können auch Moleküle elektromagnetische Strahlung absorbieren oder emittieren, wenn sie in einen Zustand mit höherer bzw. geringerer Energie übergehen. Die innere Energie eines Moleküls kann in drei Formen vorliegen, die man meist separat betrachten kann: elektronische Energie sowie Schwingungs- und Rotationsenergie.

	Thema	Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
1.	Chemische Bindung
	Ionische Bindung	Die ionische Bindung kommt zustande, wenn Elektronen eines Atoms auf ein anderes Atom übergehen. Dabei entstehen ein positives und ein negatives Ion, die einander elektrostatisch anziehen.
	Kovalente Bindung	Die kovalente Bindung ist auf quantenmechanische Weise zu beschreiben. Bei ihr gehören zwei oder mehrere Elektronen zu verschiedenen Atomen.
	Van-der-Waals-Bindung	Die von den Van-der-Waals-Kräften hervorgerufene Bindung ist relativ schwach. Sie beruht auf der Wechselwirkung von permanenten oder von transienten elektrischen Dipolen der Atome oder Moleküle.
	Wasserstoffbrückenbindung	Bei der Wasserstoffbrückenbindung wirkt ein Proton, das an ein Sauerstoff-, Stickstoff- oder Fluoratom gebunden ist, als Bindeglied zu einem weiteren solchen Atom.
	Metallische Bindung	Bei der metallischen Bindung werden die positiven Ionen im Metallgitter durch das Elektronengas zusammengehalten; dieses besteht aus freien Elektronen, die sich im Gitter der Atomrümpfe bewegen können.
	Mischformen der Bindung	Bei einem zweiatomigen Molekül aus gleichen Atomen, beispielsweise $\mathrm{O_{2}}$, ist die Bindung vollständig kovalent. Bei ungleichen Atomen liegt oft eine Art Mischung von kovalenter und ionischer Bindung vor. Der Anteil, zu dem die Bindung ionisch ist, kann aus dem Verhältnis des gemessenen elektrischen Dipolmoments zu dem elektrischen Dipolmoment des (ggf. hypothetischen) Ionenpaars ermittelt werden. Dieses Dipolmoment ist definiert durch $\wp_{\mathrm{ion}}=e\,r_{0}\,$.   (35.5) Darin ist $r_{0}$ der Gleichgewichtsabstand der Ionen.
2.	*Mehratomige Moleküle	Die Formen mehratomiger Moleküle wie $\mathrm{H_{2}O}$ oder $\mathrm{NH_{3}}$ sind aus der räumlichen Anordnung der Wellenfunktionen der Atom- bzw. der Molekülorbitale abzuleiten. Die Vierbindigkeit (Vierwertigkeit) des Kohlenstoffatoms beruht auf der Hybridisierung der 2s- und der 2p-Atomorbitale.
3.	Zweiatomige Moleküle
	Trägheitsmoment	$I=m_{\mathrm{red}}\,r_{0}^{2}$   (35.14) Hierin ist $r_{0}$ der Gleichgewichtsabstand der Atomkerne, und $m_{\mathrm{red}}$ ist die reduzierte Masse: $m_{\mathrm{red}}=\frac{m_{1}\,m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,$   (35.15)
	Rotationsenergieniveaus	$E_{\mathrm{rot}}=J\,(J+1)\,B\,,{\qquad}J=0,1,2,\,\ldots$   (35.12) mit $B=\frac{\hbar^{2}}{2\,I}$   (35.13)
	Schwingungsenergieniveaus	$E_{\mathrm{vib}}=\left(v+{\textstyle\frac{1}{2}}\right)\,h\,\nu\,,{\qquad}v=0,1,2,\,\ldots$   (35.18)
	Effektive Kraftkonstante $k_{\mathrm{F}}$	$\nu=\frac{1}{2\,\uppi}\sqrt{\frac{k_{\mathrm{F}}}{m_{\mathrm{red}}}}$   (35.19)
4.	Molekülspektren	Die optischen Spektren von Molekülen haben eine Bandenstruktur, weil bei einem Schwingungsübergang auch Rotationsübergänge auftreten. Aus den in Absorption aufgenommenen Rotations- und Schwingungsspektren erhält man Informationen über die Struktur und die Bindung im betreffenden Molekül. Für die Schwingungs- und die Rotationsübergänge zweiatomiger Moleküle gelten folgende Auswahlregeln: $\Updelta v=\pm 1,{\qquad}\Updelta J=\pm 1\,$

Antwort auf die Kurzfrage

• 35.1 Das Trägheitsmoment eines Atoms ist weitaus kleiner als das eines zweiatomigen Moleküls, denn im Ausdruck für die Rotationskonstante (Gl. 35.13) steht das Trägheitsmoment im Nenner. Daher ist gemäß Gl. 35.12 die Energiemenge, die erforderlich ist, um den Rotationszustand eines einzelnen Atoms zu ändern, weitaus größer als bei einem zweiatomigen Molekül. Bei Raumtemperatur (ca. 300 K) kann das Rotationsniveau also nicht durch Stöße der Teilchen erhöht werden.

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

35.1

• Die Atome welcher Elemente haben in den beiden äußersten (energetisch höchsten) Unterschalen dieselbe Elektronenkonfiguration wie Kohlenstoff? Erwarten Sie für diese Elemente dieselbe Art der Hybridisierung wie beim Kohlenstoff?

35.2

• Erklären Sie, warum das Trägheitsmoment eines zweiatomigen Moleküls mit zunehmendem Drehimpuls leicht ansteigt.

35.3

• Warum absorbiert ein Atom elektromagnetische Strahlung bei Raumtemperatur normalerweise nur im Grundzustand, während zweiatomige Moleküle gewöhnlich Strahlung absorbieren können, wenn sie sich in verschiedenen Rotationszuständen befinden?

35.4

•• Die (gasförmigen) Elemente der Gruppe VIII, also in der rechten Spalte des Periodensystems, nennt man Edelgase, weil sie in einem weiten Temperatur- und Druckbereich gasförmig sind und praktisch keine chemische Reaktionen zu Molekülen oder ionischen Verbindungen eingehen. Jedoch können Moleküle, wie beispielsweise das ArF, gebildet werden, wenn sie in einem elektronisch angeregten Zustand vorliegen. In diesem Fall schreibt man das Molekül als ArF${}^{\ast}$ und spricht von einem Excimer (abgleitet vom englischen Ausdruck excited dimer, angeregtes Dimer). Wie sieht das Energieniveaudiagramm des Moleküls ArF aus, wenn sein Grundzustand instabil, jedoch sein angeregter Zustand ArF${}^{\ast}$ stabil ist? (Excimere werden übrigens in bestimmten Lasertypen angewendet.)

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

35.5

•• Trägt man die potenzielle Energie der Atome eines zweiatomigen Moleküls gegen den Abstand auf, so zeigt die Kurve ein Minimum. In der Nähe dieses Minimums kann die Abstandsabhängigkeit durch eine Parabel angenähert werden; sie entspricht der bei einem harmonischen Oszillator, der hier also als Näherung für das zweiatomige Molekül betrachtet werden kann. Bei einer besseren Näherung, die man anharmonischen Oszillator nennt, ist die Beziehung

$$\begin{aligned}\displaystyle\textstyle E_{\mathrm{vib}}=\left(v+\frac{1}{2}\right)\,h\,\nu\,,{\qquad}v=0,1,2\,,\,\ldots\end{aligned}$$

modifiziert. Sie lautet dann

$$\begin{aligned}\displaystyle\textstyle E_{\mathrm{vib}}=\left(v+\frac{1}{2}\right)\,h\,\nu-\left(v+\frac{1}{2}\right)^{2}\,h\,\nu\,\alpha\,,{\qquad}v=0,1,2\,,\,\ldots\end{aligned}$$

Beim Molekül $\mathrm{O_{2}}$ haben die Parameter die folgenden Werte: $\nu=4{,}74\cdot 10^{13}\,\mathrm{s}^{-1}$ und $\alpha=7{,}6\cdot 10^{-3}$. Schätzen Sie den kleinsten Wert der Quantenzahl $v$ ab, bei der das Ergebnis der modifizierten Gleichung um 10 % von dem der nicht modifizierten ersten Gleichung abweicht.

35.6

•• Hier soll illustriert werden, dass es bei vielen makroskopischen Systemen nicht nötig ist, quantenmechanische Ansätze zu verwenden. Nehmen Sie an, eine massive Kugel mit der Masse $m=300\,\mathrm{g}$ und dem Radius $r=3\,\mathrm{cm}$ rotiert mit 20 Umdrehungen pro Sekunde um ihre Achse. Schätzen Sie die Rotationsquantenzahl $J$ und den Abstand benachbarter Rotationsenergieniveaus ab. (Hinweis: Ermitteln Sie die Quantenzahl $J$, mit der die Beziehung $E_{\mathrm{rot}}=J\,(J+1)\,\hbar^{2}/(2\,I)$, mit $J=0,1,2,\,\ldots$  , die richtige Rotationsenergie des Systems ergibt, und berechnen Sie dann die Differenz zum nächsthöheren Energieniveau der Rotation.)

1.3 Chemische Bindung

35.7

• Im HF-Molekül beträgt der Gleichgewichtsabstand der Atome 0,0917 nm, und sein Dipolmoment wurde zu $6{,}40\cdot 10^{-30}\,\mathrm{C\,m}$ gemessen. Zu welchem prozentualen Anteil ist die Bindung ionisch?

35.8

•• Der Gleichgewichtsabstand der Atome im Molekül HCl beträgt 0,128 nm. Sein elektrisches Dipolmoment wurde zu $3{,}60\cdot 10^{-30}\,\text{C}\cdot\text{m}$ gemessen. Wie hoch ist der ionische Anteil der Bindung im HCl-Molekül?

35.9

•• Im KCl-Kristall beträgt der Gleichgewichtsabstand der Ionen $\mathrm{K^{+}}$ und $\mathrm{Cl^{-}}$ rund 0,267 nm. a) Berechnen Sie die potenzielle Energie der Anziehung zwischen den Ionen, wobei Sie sie als Punktladungen im gegebenen Abstand ansehen. b) Die Ionisierungsenergie von Kalium beträgt 4,34 eV, und Chlor hat eine Elektronenaffinität von $-3{,}62$ eV. Ermitteln Sie – unter Vernachlässigung jeglicher Abstoßungsenergie – die Dissoziationsenergie von KCl. c) Die gemessene Dissoziationsenergie beträgt 4,49 eV. Wie hoch ist die Abstoßungsenergie der Ionen bei ihrem Gleichgewichtsabstand?

35.10

•• a) Berechnen Sie die potenzielle Energie der Anziehung zwischen den Ionen $\mathrm{Na^{+}}$ und $\mathrm{Cl^{-}}$ bei ihrem Gleichgewichtsabstand $r_{0}=0{,}236\,\mathrm{nm}$. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der Dissoziationsenergie. b) Wie groß ist die Abstoßungsenergie der Ionen bei ihrem Gleichgewichtsabstand?

1.4 Energieniveaus und Spektren zweiatomiger Moleküle

35.11

• Die Rotationskonstante (die charakteristische Rotationsenergie) $B$ des $\mathrm{N_{2}}$-Moleküls beträgt $2{,}48\cdot 10^{-4}\,\mathrm{eV}$. Berechnen Sie damit den Abstand der Stickstoffatome (genauer gesagt: der Atomkerne) im Molekül.

35.12

•• Das CO-Molekül hat eine Bindungsenergie von rund 11 eV. Ermitteln Sie die Schwingungsquantenzahl $v$, bei der die Schwingungsenergie diesen Wert erreichen und das Molekül somit „zerrissen“ würde.

35.13

•• Leiten Sie die Gleichung

$$\begin{aligned}\displaystyle I=m_{\mathrm{red}}\,r_{0}^{2}\,,{\quad}\text{ mit}{\quad}m_{\mathrm{red}}=\frac{m_{1}\,m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,,\end{aligned}$$

her, die den Zusammenhang zwischen dem Trägheitsmoment $I$ und der reduzierten Masse $m_{\mathrm{red}}$ eines zweiatomigen Moleküls beschreibt.

35.14

••• Berechnen Sie die reduzierten Massen der Moleküle H$\mathrm{{}^{35}Cl}$ und H$\mathrm{{}^{37}Cl}$ wie auch ihre relative Differenz $\Updelta m_{\mathrm{red}}/m_{\mathrm{red}}$. Zeigen Sie, dass in einer Mischung beider Molekülsorten beim Übergang von einem Rotationszustand in einen anderen Spektrallinien mit der relativen Frequenzdifferenz $\Updelta\nu/\nu=-\Updelta m_{\mathrm{red}}/m_{\mathrm{red}}$ auftreten. Berechnen Sie $\Updelta\nu/\nu$ und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem tatsächlichen Wert.

1.5 Allgemeine Aufgaben

35.15

• Zeigen Sie, dass die reduzierte Masse eines zweiatomigen Moleküls ungefähr gleich der Masse des leichteren Atoms ist, wenn das schwerere Atom eine wesentlich größere Masse hat.

35.16

•• Die effektive Kraftkonstante der Bindung im $\mathrm{H_{2}}$-Molekül liegt bei 580 N m${}^{-1}$. Ermitteln Sie die Energien der vier niedrigsten Schwingungszustände der Moleküle $\mathrm{H_{2}}$, HD und $\mathrm{D_{2}}$ (wobei D für Deuterium steht) sowie die Wellenlängen der Photonen, die bei Übergängen zwischen benachbarten Schwingungsenergieniveaus dieser Moleküle jeweils absorbiert oder emittiert werden.

35.17

•• Die Abhängigkeit der potenziellen Energie vom Abstand $r$ der Atome in einem Molekül kann durch das sogenannte Lennard-Jones-Potenzial (oder 6–12-Potenzial)

$$\begin{aligned}\displaystyle E_{\mathrm{pot}}=E_{\mathrm{pot,0}}\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{\!12}-2\left(\frac{a}{r}\right)^{\!6}\right]\end{aligned}$$

beschrieben werden. Darin sind $a$ und $E_{\mathrm{pot,0}}$ Konstanten. Ermitteln Sie die Abhängigkeit des Gleichgewichtsabstands $r_{0}$ der Atome vom Parameter $a$. (Hinweis: Bei diesem Abstand hat die potenzielle Energie ein Minimum.) Stellen Sie einen Ausdruck für den Minimalwert $E_{\mathrm{pot,min}}$ bei $r=r_{0}$ auf. Ermitteln Sie mithilfe der Abb. 35.20 Zahlenwerte von $r_{0}$ und $E_{\mathrm{pot,0}}$ für das $\mathrm{H_{2}}$-Molekül. Geben Sie Ihre Ergebnisse in Nanometer bzw. in Elektronenvolt an.

Abb. 35.20

Zu Aufgabe 35.17

35.18

•• In dieser Aufgabe soll die Abstandsabhängigkeit der Van-der-Waals-Kräfte zwischen einem polaren und einem unpolaren Molekül berechnet werden. Das polare Molekül befindet sich im Ursprung, sein Dipolmoment weist in $+x$-Richtung, und es hat vom unpolaren Molekül den Abstand $x$.  a) Wie hängt die von einem Dipol hervorgerufene elektrische Feldstärke in der angegebenen Richtung vom Abstand $x$ ab?  b) Die potenzielle Energie eines elektrischen Dipols mit dem Dipolmoment $\boldsymbol{\wp}$ in einem elektrischen Feld $\boldsymbol{E}$ ist $E_{\mathrm{pot}}=-\boldsymbol{\wp}\cdot\boldsymbol{E}$, und der Betrag des im unpolaren Molekül induzierten Dipolmoments $\boldsymbol{\wp}^{\,\prime}$ ist in Richtung von $\boldsymbol{E}$ proportional zu dessen Betrag. Berechnen Sie mithilfe dieser Angaben die potenzielle Wechselwirkungsenergie der beiden Moleküle in Abhängigkeit von ihrem Abstand $x$.  c) Berechnen Sie mithilfe der Beziehung $F_{x}=-{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}E_{\mathrm{pot}}/{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}x$, wie die Kraft zwischen den zwei Molekülen von deren Abstand $x$ abhängt.

35.19

•• Sogenannte Treibhausgase wie Wasserdampf und Kohlendioxid tragen zum Treibhauseffekt bei, indem sie infrarote Strahlung absorbieren und damit die Fähigkeit der Erde reduzieren, Wärme abzustrahlen. a) Geben Sie eine kurze Größenordnungsabschätzung an, weshalb vor allem die Anregung von Vibrationsmoden für die Wirkung von Treibhausgasen ausschlaggebend ist, die Anregung elektronischer Übergänge nicht. b) Damit Vibrationsmoden effizient durch elektromagnetische Wellen angeregt werden können, muss durch die Verformung ein elektrisches Dipolmoment im Molekül entstehen. Argumentieren Sie, weshalb die beiden Luftbestandteile $\mathrm{N}_{2}$ und $\mathrm{O}_{2}$ keine Treibhausgase sind.