Das elektrische Feld I: Diskrete Ladungsverteilungen

Zusammenfassung

Noch vor 150 Jahren gab es kaum mehr als ein paar elektrische Lampen, doch inzwischen sind wir in unserem Alltag extrem abhängig von der Elektrizität geworden. Obgleich aber die Elektrizität erst seit jüngster Zeit breit genutzt wird, reicht die Erforschung der Elektrizität weit in die Geschichte zurück und ist viel älter als die ersten elektrischen Glühlampen. Beobachtungen der elektrischen Anziehung können bis zu den alten Griechen zurückverfolgt werden. Sie beobachteten, dass Bernstein nach dem Reiben beispielsweise mit Katzenfell kleine Objekte wie Stroh oder Federn anzog. Das Wort „elektrisch“ kommt von elektron, dem griechischen Wort für „Bernstein“.

Kupfer zeichnet sich durch eine sehr gute elektrische Leitfähig aus und wird deshalb sehr häufig als Material für metallische Leiter verwendet. Aufgrund der guten Verformbarkeit wird Kupfer auch als Werkstoff für die Münzprägung eingesetzt. Die abgebildete 1-Cent-Münze besteht allerdings nicht mehr aus massivem Kupfer, sondern aus einem Stahlkern mit einer Kupferauflage. (© rusm/Getty Images/iStock.)

? Wie groß ist die Gesamtladung von allen Elektronen in einer historischen Münze, die aus reinem Kupfer besteht? (Siehe Beispiel 18.1.)

Appendices

Im Kontext: Pulverbeschichtung – Elektrostatik in der Industrie

Millionen von Kindern in aller Welt haben die Reibungselektrizität schon genutzt, ohne es zu merken: Seit Anfang der 1960er Jahre gibt es eine Art Zeichentafel unter dem Markennamen „Etch A Sketch“¹, die hinter einer Glasplatte ein feines Pulvergemisch von Aluminium und Polystyrol enthält. Beim Schütteln reiben die Bestandteile aneinander, laden sich entgegengesetzt auf, und das Aluminiumpulver haftet an der Glasscheibe. Gezeichnet wird mit einer Art Schaber, der durch zwei Drehknöpfe in $x$- und $y$-Richtung bewegt werden kann und feine Linien durch das Pulver zieht. Mit Geschick kann man so ganze Bilder fertigen. Durch Umdrehen und Schütteln wird das Bild gelöscht.

Pulver, die sich elektrostatisch aufladen, sind aber nicht nur eine Spielerei, sondern können in vielen Branchen zur Metallbeschichtung eingesetzt werden. Um Metallteile in Autos, Werkzeugen oder Anlagen vor Korrosion zu schützen, müssen sie mit einer Schutzschicht überzogen werden. Klassisch setzt man dazu Lacke und Farben oder Email ein, die als Flüssigkeiten oder in Pulverform aufgebracht werden. Flüssige Lacke haben verschiedene Nachteile², denn die Lösungsmittel benötigen Zeit zum Trocknen oder setzen unerwünschte flüchtige Verbindungen frei. An geneigten Oberflächen fließt der Lack nicht zu einer gleichmäßigen Schicht zusammen. Beim Aufsprühen entstehen Verluste und Rückstände, die als Abfall entsorgt werden müssen. Elektrostatische Pulverbeschichtungen vermeiden viele dieser Probleme.³ Dieser Beschichtungsprozess wurde erstmals in den 1950er Jahren eingesetzt und und ist heute besonders bei Herstellern verbreitet, die Umweltauflagen zur Reduzierung flüchtiger chemischer Verbindungen unterliegen.

Das Pulver wird aufgebracht, indem man das zu beschichtende Teil elektrisch auflädt.⁴ Das gelingt am besten, wenn das zu beschichtende Teil leitfähig ist. Dann lädt man sehr kleine (zwischen 1 $\upmu$m und 100 $\upmu$m) Pulverteilchen⁵ entgegengesetzt auf. Die Beschichtungsteilchen werden so von dem zu beschichtenden Körper angezogen. Lose Pulverteilchen können wieder aufbereitet und erneut verwendet werden. Sobald die Beschichtung in Pulverform aufgebracht ist, muss man sie aushärten, entweder durch erhöhte Temperatur oder durch Ultraviolettbestrahlung. Beim Aushärten verbinden sich die Moleküle der Beschichtung miteinander, und die Pulverteilchen und das zu beschichtende Objekt verlieren ihre Ladungen.

Bei der Zeichentafel „Etch-A-Sketch“ haftet ein feines Pulver durch elektrostatische Anziehung auf der Rückseite einer Mattscheibe. Durch Drehen der Knöpfe kann man einen kleinen Stift bewegen, der das Pulver abkratzt. (Mit freundlicher Genehmigung von The Ohio Art Company)

Die Pulverteilchen können durch eine Glimmentladung (Koronaentladung) oder triboelektrisch aufgeladen werden.⁶ Bei der Glimmentladung dienen Elektronen in einem Plasma zum Aufladen der Pulverteilchen, die sich auf der (positiv geladenen) Oberfläche absetzen. Bei triboelektrischer Aufladung bläst man die Pulverteilchen durch eine Röhre aus einem Material vom anderen Ende der triboelektrischen Reihe, beispielsweise Teflon. Beim Kontakt mit diesem Material erhalten die Pulverteilchen eine positive Ladung. Das zu beschichtende Objekt wird je nach genutzter Beschichtungsmethode geladen. Die Ladungen variieren je nach Beschichtungsmaterial und den eingesetzten Additiven zwischen 500 und 1000 $\upmu$C$/$kg.⁷ Auch die Aushärtung hängt von dem Beschichtungsmaterial und der Beschaffenheit des zu beschichtenden Objekts ab. Die Aushärtezeit kann zwischen 1 und 30 min liegen.⁸

Obwohl die elektrostatische Pulverbeschichtung wirtschaftlich und umweltfreundlich ist, bringt sie einige Schwierigkeiten mit sich. Es gibt die Möglichkeit, dass sich die Pulverteilchen je nach Luftfeuchtigkeit entladen⁹ – deshalb muss man die Luftfeuchtigkeit genau regeln.¹⁰ Wenn das elektrische Feld für die Glimmentladung zu stark ist, treffen die Pulverteilchen zu schnell auf das zu beschichtende Objekt auf; dabei entstehen ringartige Muster mit dünnerer Beschichtung in der Mitte („Orangenschaleneffekt“).¹¹ Objekte mit komplizierter Geometrie sind nur schwierig und innen liegende Hohlräume gar nicht zu beschichten (hier wirkt das leitende Material des Hohlraums wie ein Faraday’scher Käfig; Abschn. 19.6). Ferner eignet sich das Verfahren durch die thermische Belastung beim Aushärten nicht für alle Materialien.

• 1. Grandjean, A., „Tracing Device“, U.S. Patent No. 3 055 113, 25. Sept. 1962.

• 2. Matheson, R. D., „20th- to 2lst-Century Technological Challenges in Soft Coatings“, Science, 9. Aug. 2002, 297, Nr. 5583, S. 976–979.

• 3. Hammerton, D. und Buysens, K., „UV-Curable Powder Coatings: Benefits and Performance“, Paint and Coatings Industry, Aug. 2000, S. 58.

• 4. Zeren, S. und Renoux, D., „Powder Coatings Additives“, Paint and Coatings Industry, Okt. 2002, S. 116.

• 5. Hemphill, R., „Deposition of BaTiO${}_{3}$ Nanoparticles by Electrostatic Spray Powder Charging“, Paint and Coatings Industry, Apr. 2006, S. 74–78.

• 6. Czyzak, S. J. und Williams, D. T., „Static Electrification of Solid Particles by Spraying“, Science, 20. Juli 1951, 14, S. 66–68.

• 7. Zeren, S. und Renoux, D., a. a. O.

• 8. Hammerton, D. und Buysens, K., a. a. O.

• 9. O’Konski, C. T., „The Exponential Decay Law in Spray De-electrification“, Science, 5. Okt. 1951, 114, S. 368.

• 10. Sharma, R. et al., „Effect of Ambient Relative Humidity and Surface in Modification on the Charge Decay Properties of Polymer Powders in Powder Coating“, IEEE Transactions on Industry Applications, Jan./Feb. 2003, 39, Nr. 1, S. 87–95.

• 11. Wostratzky, D., Lord, S. und Sitzmann, E. V., „Power!“ Paint and Coatings Industry, Okt. 2000, S. 54.

Zusammenfassung

	Thema	Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
1.	Elektrische Ladung	Es gibt zwei Arten der elektrischen Ladung: positive und negative. Ladungen gleichen Vorzeichens stoßen sich ab, Ladungen verschiedenen Vorzeichens ziehen sich an.
	Quantisierung (Quantelung)	Die elektrische Ladung ist quantisiert – sie tritt immer in ganzzahligen Vielfachen der Elementarladung $e$ auf. Die Ladung des Elektrons ist $-e$, die des Protons ist $+e$.
	Größe	$e=1{,}60\cdot 10^{-19}\,\text{C}$   (18.1)
	Erhaltung	Ladung bleibt erhalten. Sie kann weder erzeugt noch vernichtet, sondern lediglich übertragen werden. Wenn in atomaren Prozessen geladene Teilchen erzeugt oder vernichtet werden, ist die Gesamtladung der davon betroffenen Teilchen null.
2.	Leiter und Nichtleiter	In Leitern ist etwa ein Elektron pro Atom delokalisiert (innerhalb des gesamten Materials frei beweglich). In Nichtleitern sind alle Elektronen lokalisiert (an Atome in der Nähe gebunden).
	Erde (Erden, Erdung)	Ein sehr großer Leiter, der eine unbegrenzte Menge an Ladung aufnehmen oder liefern kann (so wie die Erde), wird als Erde bezeichnet.
3.	Ladung durch Influenz	Ein Leiter kann aufgeladen werden, indem man den Leiter erdet und dann eine Ladung in die Nähe des Leiters bringt, um freie Elektronen anzuziehen oder abzustoßen. Danach trennt man die Verbindung zur Erde und entfernt die äußere Ladung aus der Nähe des Leiters.
4.	Coulomb’sches Gesetz	Die Kraft, die durch eine Ladung $q_{1}$ auf eine Ladung $q_{2}$ im Abstand $r$ ausgeübt wird, ist durch $\boldsymbol{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{q_{1}\,q_{2}}{r^{2}}\,\boldsymbol{\widehat{r}}$   (18.4) gegeben. $\boldsymbol{\widehat{r}}$ ist dabei der Einheitsvektor, der von $q_{1}$ nach $q_{2}$ zeigt.
	Elektrische Feldkonstante	Die im Coulomb’schen Gesetz auftretende Proportionalitätskonstante hat den Wert $\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}=8{,}99\cdot 10^{9}\,\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}$   (18.3a) mit der Dielektrizitätskonstanten $\varepsilon_{0}=8{,}85\cdot 10^{-12}\,\text{C}^{2}/\text{N}\cdot\text{m}^{2}\,$.   (18.3b)
5.	Elektrisches Feld	Das elektrische Feld, das durch ein System von Ladungen in einem Punkt erzeugt wird, ist definiert als der Quotient aus der resultierenden Kraft $\boldsymbol{F}$, die insgesamt von den felderzeugenden Ladungen auf eine (kleine positive) Probeladung $q_{0}$ ausgeübt wird, und dem Betrag der Ladung $q_{0}$: $\boldsymbol{E}=\frac{\boldsymbol{F}}{q_{0}}$   (18.5)
	Feld einer Punktladung	$\boldsymbol{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{q}{r^{2}}\,\boldsymbol{\widehat{r}}$   (18.7)
	Feld eines Systems von Punktladungen	Das elektrische Feld in einem Punkt $P$ eines Systems von Punktladungen ist die Vektorsumme der Felder in $P$ der einzelnen Ladungen: $\boldsymbol{E}=\sum_{i}\boldsymbol{E}_{i}=\sum_{i}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{q_{i}}{r^{2}_{i}}\,\boldsymbol{\widehat{r}}_{i}$  (18.8)
6.	Elektrische Feldlinien	Das elektrische Feld kann durch elektrische Feldlinien veranschaulicht werden, die an positiven Ladungen beginnen und an negativen Ladungen enden. Die elektrische Feldstärke wird durch die Dichte der elektrischen Feldlinien angezeigt.
7.	Elektrische Dipole	Ein elektrischer Dipol ist ein System von zwei entgegengesetzt gleichen Ladungen, die durch einen kleinen Abstand $l$ voneinander getrennt sind.
	Dipolmoment	$\boldsymbol{\wp}=q\,\boldsymbol{l}$   (18.9) $\boldsymbol{l}$ zeigt von der negativen zur positiven Ladung.
	Feld eines Dipols	Das elektrische Fernfeld, das ein Dipol erzeugt, ist proportional zu dem Dipolmoment und umgekehrt proportional zu der dritten Potenz des Abstands von dem Dipol.
	Drehmoment eines Dipols	In einem homogenen elektrischen Feld ist die resultierende Kraft auf einen Dipol null, aber es gibt ein Drehmoment, das versucht, den Dipol in die Richtung des Felds zu drehen: $\boldsymbol{M}=\boldsymbol{\wp}\times\boldsymbol{E}$   (18.11)
	Potenzielle Energie eines Dipols	$E_{\text{pot}}=-\boldsymbol{\wp}\cdot\boldsymbol{E}+U_{0}$   (18.12) $U_{0}$ wird üblicherweise gleich null gesetzt.
8.	Polare und nichtpolare Moleküle	Polare Moleküle, z. B. H${}_{2}$O oder HCl, haben permanente Dipolmomente, da ihre positiven und negativen Ladungszentren nicht zusammenfallen. Sie verhalten sich wie Dipole in einem elektrischen Feld. Nichtpolare Moleküle besitzen kein permanentes Dipolmoment. In einem elektrischen Feld können in ihnen Dipolmomente induziert werden.

Antworten auf die Kurzfragen

• 18.1 a) $\tfrac{1}{2}\,q$; da die Kugeln identisch sind, muss sich die Ladung gleichmäßig auf ihnen verteilen. b) $+2q$; dieser Wert ist notwendig, um die Ladungserhaltung zu gewährleisten.

• 18.2 $q_{1}=+q/2$, $q_{2}=-q/4$ und $q_{3}=-q/4$

Lösungen der Zusatzaufgaben

• 18.1 Ungefähr $35\cdot 10^{-9}$ Prozent

• 18.2 $n=q/e=(50\cdot 10^{-9}\,\text{C})/(1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C})=3{,}1\cdot 10^{11}$. Bei einer Ladung von dieser Größe kann man eine Ladungsquantisierung nicht mehr wahrnehmen. Selbst eine Zunahme oder eine Abnahme von einer Million Elektronen erzeugt einen vernachlässigbar kleinen Effekt.

• 18.3 $2{,}25\cdot 10^{-3}\,\text{N}$

• 18.4 $+(6{,}3\,\upmu\text{N})\,\boldsymbol{\widehat{x}}$

• 18.5 $\boldsymbol{\widehat{r}}_{1}=(\boldsymbol{\widehat{x}}+\boldsymbol{\widehat{y}}\,)$/$\sqrt{2}$

• 18.6 Nein. Um das zu zeigen, nehmen Sie an, sie wäre es. Da die $x$-Komponente von $\boldsymbol{\widehat{r}}_{1}$ kleiner ist als der Betrag von $\boldsymbol{\widehat{r}}_{1}$, ist der Nenner von $(1/4\,\uppi\varepsilon_{0})\,q_{0}/x_{1}^{2}$ kleiner als der Nenner von $(1/4\,\uppi\varepsilon_{0})\,q_{0}/r_{1}^{2}$. Dann müsste die $x$-Komponente von $\boldsymbol{F}_{1}$ größer sein als der Betrag von $\boldsymbol{F}_{1}$, und das ist unmöglich, denn eine Komponente eines Vektors ist niemals größer als dessen Betrag. Daher muss die $x$-Komponente der Kraft $\boldsymbol{F}_{1}=(1/4\,\uppi\varepsilon_{0})\,(q_{1}\,q_{0}/r_{1}^{2})\,\boldsymbol{\widehat{r}}_{1}$ nicht unbedingt gleich $|\boldsymbol{F}_{1,x}|=(1/4\,\uppi\varepsilon_{0})\,q_{1}\,q_{0}/x_{1}^{2}$ sein.

• 18.7 $x=\text{1{,}80\,m}$

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

18.1

•• Sie wollen mit einem einfachen Experiment das Coulomb’sche Gesetz widerlegen: Zunächst gehen Sie mit einem Gummikamm durch Ihre trockenen Haare, dann ziehen sie mit dem Kamm kleine, ungeladene Papierfetzen auf dem Tisch an. Nun behaupten Sie: „Damit elektrostatische Anziehungskräfte zwischen zwei Körper wirken, müssen dem Coulomb’schen Gesetz zufolge beide Körper geladen sein. Das Papier war jedoch nicht geladen. Nach dem Coulomb’schen Gesetz hätten keine elektrostatischen Anziehungskräfte auftreten dürfen, sie sind aber offenbar doch aufgetreten. Daher stimmt das Gesetz nicht.“ a) Worin liegt der Fehler Ihrer Argumentation? b) Muss für eine Anziehungskraft zwischen dem Papier und dem Kamm die Nettoladung auf dem Kamm negativ sein? Erläutern Sie Ihre Antwort.

18.2

•• Sie haben einen positiv geladenen, nichtleitenden Stab und zwei Metallkugeln auf isolierten Füßen. Erläutern Sie Schritt für Schritt, wie mit dem Stab – ohne dass er eine der Kugeln berührt – eine der Kugeln negativ geladen werden kann.

18.3

•• Sie können die elektrostatische Anziehung einfach demonstrieren, indem Sie eine kleine Kugel aus zerknüllter Aluminiumfolie an einem herabhängenden Bindfaden befestigen und einen geladenen Stab in die Nähe bringen. Anfänglich wird die Kugel vom Stab angezogen, aber sobald sie sich berühren, wird die Kugel von ihm stark abgestoßen. Erläutern Sie dieses Verhalten.

18.4

•• Drei Punktladungen, $+q_{0}$, $+q$ und $-q$, befinden sich in den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks (Abb. 18.34). Es befinden sich keine anderen geladenen Körper in der Nähe. a) In welche Richtung wirkt auf die Ladung $+q_{0}$ die resultierende Kraft, die durch die anderen beiden Ladungen verursacht wird? b) Welche resultierende elektrische Kraft wirkt auf diese Ladungsanordnung? Erläutern Sie Ihre Antwort.

Abb. 18.34

Zu Aufgabe 18.4

18.5

•• Vier Ladungen befinden sich in den Ecken eines Quadrats, wie in Abb. 18.35 dargestellt. Es befinden sich keine anderen geladenen Körper in der Nähe. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? a) Das elektrische Feld $\boldsymbol{E}$ ist null in allen Punkten in der Mitte zwischen zwei Ladungen längs der Seiten des Quadrats. b) $\boldsymbol{E}$ ist null im Mittelpunkt des Quadrats. c) $\boldsymbol{E}$ ist null in der Mitte zwischen den beiden oberen und in der Mitte zwischen den beiden unteren Ladungen.

Abb. 18.35

Zu Aufgabe 18.5

18.6

•• Zwei Punktladungen, $+q$ und $-3\,q$, sind durch einen kleinen Abstand $d$ voneinander getrennt. a) Veranschaulichen Sie mit elektrischen Feldlinien das elektrische Feld in der Nähe dieser Anordnung. b) Zeichnen Sie auch die Feldlinien bei Abständen, die viel größer als der Abstand der Ladungen sind.

18.7

•• Ein ruhendes Molekül mit einem elektrischen Dipolmoment $\boldsymbol{\wp}$ ist so orientiert, dass $\boldsymbol{\wp}$ mit einem homogenen elektrischen Feld $\boldsymbol{E}$ einen Winkel $\theta$ einschließt. Das Molekül kann sich nun in Reaktion auf die durch das Feld wirkende Kraft frei bewegen. Beschreiben Sie die Bewegung des Moleküls.

18.8

•• Richtig oder falsch? a) Das elektrische Feld einer Punktladung zeigt stets von der Ladung weg. b) Die elektrische Kraft auf ein geladenes Teilchen in einem elektrischen Feld weist stets in dieselbe Richtung wie das Feld. c) Elektrische Feldlinien kreuzen sich niemals. d) Alle Moleküle haben in Gegenwart eines äußeren elektrischen Felds ein elektrisches Dipolmoment.

Abb. 18.36

Zu Aufgabe 18.9

18.9

•• Zwei Moleküle haben Dipolmomente mit gleichem Betrag, sind aber auf vier verschiedene Arten orientiert (Abb. 18.36). Bestimmen Sie jeweils die Richtung des elektrischen Felds in den durch die Nummern gekennzeichneten Punkten. Erläutern Sie Ihre Antworten.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

18.10

•• Schätzen Sie die Kraft ab, die notwendig ist, um den Kern des Heliumatoms zusammenzuhalten. (Hinweis: Modellieren Sie die Protonen als Punktladungen. Den Abstand zwischen diesen müssen Sie abschätzen.)

18.11

•• Bei einem verbreiteten Schauversuch reibt man einen Kunststoffstab an einem Fell, um ihn aufzuladen, und hält den Stab dann in die Nähe einer leeren, liegenden Getränkedose (Abb. 18.37). Erläutern Sie, warum die Dose sich auf den Stab zu bewegt.

Abb. 18.37

Zu Aufgabe 18.11

1.3 Elektrische Ladung

18.12

• Eine Ladung, die der Ladung der Avogadro-Zahl von Protonen $(n_{\mathrm{A}}=6{,}022\cdot 10^{23})$ entspricht, nennt man ein Faraday. Wie viele Coulomb sind das?

18.13

• Welche Gesamtladung haben alle Protonen in 1,00 kg Kohlenstoff?

1.4 Das Coulomb’sche Gesetz

18.14

• Drei Punktladungen befinden sich auf der $x$-Achse: $q_{1}=-\mathrm{6{,}0\,\upmu}$C bei $x=-\mathrm{3{,}0\,m}$, $q_{2}=\mathrm{4{,}0\,\upmu}$C im Koordinatenursprung und $q_{3}=-\mathrm{6{,}0\,\upmu}$C bei $x=\mathrm{3{,}0\,m}$. Berechnen Sie die Kraft auf $q_{1}$.

18.15

•• Eine Punktladung von $-2{,}5\,\mathrm{\upmu}$C befindet sich im Koordinatenursprung und eine zweite Punktladung von 6,0 $\upmu$C bei $x=\mathrm{1{,}0\,m}$, $y=\mathrm{0{,}5\,m}$. Eine dritte Punktladung – ein Elektron – befindet sich in einem Punkt mit den Koordinaten $(x,y)$. Berechnen Sie die Werte von $x$ und $y$, bei denen sich das Elektron im Gleichgewicht befindet.

18.16

••• Fünf gleiche Punktladungen $q$ sind gleichmäßig auf einem Halbkreis mit dem Radius $r$ verteilt (Abb. 18.38). Geben Sie mithilfe von $1/4\uppi\varepsilon_{0}$ und $q$ sowie $r$ die Kraft auf die Ladung $q_{0}$ an, die von den anderen fünf Ladungen gleich weit entfernt ist.

Abb. 18.38

Zu Aufgabe 18.16

1.5 Elektrisches Feld

18.17

• Zwei Punktladungen von je $+4{,}0\,\upmu$C befinden sich auf der $x$-Achse: die eine im Koordinatenursprung und die andere bei $x=\mathrm{8{,}0\,m}$. Berechnen Sie das elektrische Feld auf der $x$-Achse bei  a) $x=-\text{2,0\,m}$, b) $x=\text{2,0\,m}$, c) $x=\text{6,0\,m}$ bzw. d) $x=\text{10\,m}$. e) An welchem Punkt auf der $x$-Achse ist das elektrische Feld null? f) Skizzieren Sie $E_{x}$ in Abhängigkeit von $x$ über den Bereich $-\text{3,0\,m}<x<\text{11\,m}$.

18.18

• Das elektrische Feld in der Nähe der Erdoberfläche zeigt nach unten und hat einen Betrag von 150 N$/$C. a) Vergleichen Sie den Betrag der nach oben gerichteten elektrischen Kraft auf ein Elektron mit dem Betrag seiner nach unten gerichteten Gewichtskraft. b) Welche Ladung muss ein Tischtennisball mit einer Masse von 2,70 g tragen, damit die elektrische Kraft seine Gewichtskraft in der Nähe der Erdoberfläche ausgleicht?

18.19

•• Zwei gleich große positive Ladungen $q$ befinden sich auf der $y$-Achse: die eine bei $y=+a$ und die andere bei $y=-a$. a) Zeigen Sie, dass für Punkte auf der $x$-Achse die $x$-Komponente des elektrischen Felds den Betrag $E_{x}=(1/4\uppi\varepsilon_{0})\,2\,q\,x/(x^{2}+a^{2})^{3/2}$ hat. b) Zeigen Sie, dass in der Nähe des Koordinatenursprungs (d. h. für $x\ll a$) näherungsweise gilt: $E_{x}\approx(1/4\uppi\varepsilon_{0})\,2\,q\,x/a^{3}$. c) Zeigen Sie, dass für $x\gg a$ das Feld näherungsweise durch $E_{x}\approx(1/4\uppi\varepsilon_{0})\,2\,q/x^{2}$ gegeben ist. Erläutern Sie, warum man dieses Ergebnis auch ohne eine entsprechende Grenzwertbetrachtung erhalten kann.

18.20

•• a) Zeigen Sie, dass die elektrische Feldstärke bei der Ladungsverteilung in Aufgabe 18.19 ihren größten Betrag in den Punkten $x=a/\sqrt{2}$ und $x=-a/\sqrt{2}$ hat, indem Sie $\partial E_{x}/\partial x$ ermitteln und die Ableitung gleich null setzen. b) Tragen Sie $E_{x}$ gegen $x$ auf, unter Verwendung des Ergebnisses von Teilaufgabe a dieser Aufgabe sowie der in den Teilaufgaben b und c von Aufgabe 18.19 gegebenen Ausdrücke.

18.21

• Wie groß ist die Kraft auf ein Elektron, das sich an einem Ort befindet, in dem $\boldsymbol{E}=(4\cdot 10^{4}\,\mathrm{N/C})\,\boldsymbol{\widehat{x}}$ beträgt?

18.22

•• Wenn eine Probeladung von 5 nC an einen bestimmten Punkt gebracht wird, erfährt sie eine Kraft von $2\cdot 10^{-4}$ N in Richtung zunehmender $x$-Werte. Wie groß ist das elektrische Feld $\boldsymbol{E}$ an diesem Punkt?

1.6 Bewegung von Punktladungen in elektrischen Feldern

18.23

•• Die Beschleunigung eines Teilchens in einem elektrischen Feld hängt vom Verhältnis $q/m$ seiner Ladung zu seiner Masse ab. a) Berechnen Sie dieses Verhältnis für ein Elektron. b) Welchen Betrag und welche Richtung hat die Beschleunigung eines Elektrons in einem homogenen elektrischen Feld der Stärke 100 N$/$C?  c) Berechnen Sie die Zeitspanne, die ein ruhendes Elektron in einem elektrischen Feld der Stärke 100 N$/$C benötigt, um eine Geschwindigkeit von $0{,}01\,c$ zu erlangen. (Wenn sich die Geschwindigkeit des Elektrons der Lichtgeschwindigkeit $c$ nähert, muss man zur Berechnung seiner Bewegung eigentlich die Gesetze der relativistischen Mechanik anwenden. Bei Geschwindigkeiten von $0{,}01\,c$ oder darunter liefern aber auch die Gesetze der Newton’schen Mechanik hinreichend genaue Ergebnisse.) d) Wie weit bewegt sich das Elektron in dieser Zeitspanne?

18.24

•• Ein Elektron hat eine kinetische Energie von $\mathrm{2{,}00\,10^{-16}\,J}$ und bewegt sich entlang der Achse einer Kathodenstrahlröhre nach rechts (Abb. 18.39). Im Bereich zwischen den Ablenkplatten herrscht ein elektrisches Feld $\boldsymbol{E}=\mathrm{(2{,}00\,10^{4}\,\boldsymbol{\widehat{y}})\,N/C}$, aber außerhalb dieses Bereichs besteht kein elektrisches Feld (d. h., hier ist $\boldsymbol{E}=0$).  a) Wie weit ist das Elektron von der Achse entfernt, wenn es den Bereich zwischen den Platten gerade durchflogen hat? b) In welchem Winkel zur Achse bewegt sich das Elektron dabei? c) In welchem Abstand von der Achse trifft das Elektron auf die Fluoreszenzschicht des Schirms?

Abb. 18.39

Zu Aufgabe 18.24

1.7 Dipole

18.25

• Zwei Punktladungen $q_{1}\!=\!\text{2,0\,pC}$ und $q_{2}\!=\!-\text{2{,}0\,pC}$ sind durch einen Abstand von 4,0 $\upmu$m voneinander getrennt. a) Wie groß ist das Dipolmoment dieses Ladungspaars? b) Skizzieren Sie das Ladungspaar und die Richtung des Dipolmoments.

18.26

•• Man kann sich vorstellen, dass das Neutron aus drei Quarks mit den Ladungen $2/3e$ und $2\times-1/3e$ aufgebaut ist und einen Durchmesser von ungefähr $10^{-15}$ m besitzt. Die experimentelle Obergrenze für sein elektrisches Dipolmoment liegt derzeit bei ca. $<3\cdot 10^{-26}\,\text{cm}\,e$, wobei $e$ die Elementarladung ist. Machen Sie anhand der Größe des Neutrons und der Ladungen der Bestandteile eine Abschätzung seines erwarteten elektrischen Dipolmoments und vergleichen Sie das Ergebnis mit der experimentellen Obergrenze. Können Sie sich die Diskrepanz erklären?

1.8 Allgemeine Aufgaben

18.27

•• Eine positive Ladung $q$ wird in zwei positive Ladungen $q_{1}$ und $q_{2}$ getrennt. Zeigen Sie, dass die Kraft, die von einer Ladung auf die andere ausgeübt wird, bei einem gegebenen Abstand $d$ dann am größten ist, wenn $q_{1}=q_{2}=\tfrac{1}{2}\,q$ ist.

18.28

•• Zwei punktförmige Teilchen sind durch einen Abstand von 0,60 m voneinander getrennt und tragen eine Gesamtladung von 200 $\upmu$C. Bestimmen Sie die Ladung jedes der beiden Teilchen, wenn sie sich a) mit einer Kraft von 80 N abstoßen bzw. b) mit einer Kraft von 80 N anziehen.

18.29

•• Ein punktförmiges Teilchen mit der Ladung $+q$ und der unbekannten Masse $m$ befindet sich anfangs in Ruhe. Es wird dann in einem homogenen elektrischen Feld $\boldsymbol{E}$, das senkrecht nach unten gerichtet ist, aus der Höhe $h$ fallen gelassen. Das Teilchen trifft mit der Geschwindigkeit $v=2\,\sqrt{g\,h}$ unten auf. Bestimmen Sie $m$ in Abhängigkeit von $E$, $q$ und $g$.

18.30

•• Ein starrer Stab von 1,00 m Länge ist in seinem Mittelpunkt drehbar gelagert (Abb. 18.40). Eine Ladung $q_{1}=\mathrm{5{,}00\,10^{-7}\,C}$ wird an einem Ende des Stabs angebracht, und eine weitere Ladung $q_{2}=-q_{1}$ wird im Abstand $d=\text{10,0\,cm}$ direkt darunter platziert. a) Welche Kraft übt $q_{2}$ auf $q_{1}$ aus? b) Welches Drehmoment (bezüglich des Drehpunkts) ruft diese Kraft hervor? c) Um die Anziehungskraft zwischen den Ladungen auszugleichen, wird, wie in der Abbildung gezeigt, ein Massestück in 25,0 cm Abstand vom Drehpunkt angehängt. Welche Masse $m$ muss dieses Stück haben? d) Nun wird das Massestück in 25,0 cm Abstand vom Drehpunkt auf die andere (den Ladungen zugewandte) Seite des Stabs gehängt. Dabei bleiben $q_{1}$ und $d$ unverändert. Welchen Wert muss $q_{2}$ jetzt haben, damit die Anordnung im Gleichgewicht bleibt?

Abb. 18.40

Zu Aufgabe 18.30

18.31

•• Zwei Punktladungen von je 3,0 $\upmu$C befinden sich in den Punkten $x=0$, $y=\text{2,0\,m}$ und $x=0$, $y=-\text{2,0\,m}$. Zwei weitere Punktladungen, jeweils mit der Ladung $q$, befinden sich in den Punkten $x=\text{4,0\,m}$, $y=\text{2,0\,m}$ und $x=\text{4,0\,m}$, $y=-\text{2,0\,m}$ (Abb. 18.41). Das elektrische Feld bei $x=0$, $y=0$ aufgrund der vier Ladungen ist $(4{,}0\cdot 10^{3}\,\boldsymbol{\widehat{x}})\,\mathrm{N/C}$. Bestimmen Sie $q$.

Abb. 18.41

Zu Aufgabe 18.31

18.32

•• Vier Ladungen mit gleichem Betrag sind in den Ecken eines Quadrats der Seitenlänge $l$ angeordnet (Abb. 18.42). a) Bestimmen Sie Betrag und Richtung der Kraft, die durch die anderen Ladungen auf die Ladung in der unteren linken Ecke ausgeübt wird. b) Zeigen Sie, dass das elektrische Feld in der Mitte einer der Quadratseiten entlang dieser Seite zur negativen Ladung hin gerichtet ist und dass die Feldstärke hier gegeben ist durch

$$\begin{aligned}\displaystyle E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{8\,q}{l^{2}}\left(1-\frac{\sqrt{5}}{25}\right)\,.\end{aligned}$$

Abb. 18.42

Zu Aufgabe 18.32

18.33

•• Ein Elektron (Ladung $-e$, Masse $m$) und ein Positron (Ladung $+e$, Masse $m$) drehen sich unter dem Einfluss ihrer anziehenden Coulomb-Kraft um ihren gemeinsamen Massenmittelpunkt. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit $v$ jedes Teilchens in Abhängigkeit von $e$, $m$, $\varepsilon_{0}$ und ihrem Abstand $r$.

18.34

••• Ein punktförmiges Teilchen der Masse $m$ und der Ladung $q_{0}$ kann sich innerhalb eines engen reibungsfreien Zylinders nur senkrecht bewegen (Abb. 18.43). Am Boden des Zylinders befindet sich eine Punktladung $q$, die das gleiche Vorzeichen wie $q_{0}$ hat. a) Zeigen Sie, dass das Teilchen in der Höhe $y_{0}=\sqrt{(1/4\uppi\varepsilon_{0})\,(q_{0}\,q/m\,g)}$ im Gleichgewicht ist. b) Zeigen Sie, dass das Teilchen eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz $\omega=\sqrt{2\,g/y_{0}}$ ausführt, wenn es um eine kleine Strecke aus seiner Gleichgewichtslage verschoben wird und dann sich selbst überlassen bleibt.

Abb. 18.43

Zu Aufgabe 18.34

18.35

••• Beim Millikan-Experiment, das zum Bestimmen der Ladung des Elektrons dient, wird ein geladenes Polystyrolkügelchen in ruhender Luft in ein bekanntes senkrechtes elektrisches Feld gebracht. Das geladene Kügelchen wird in Richtung einer einwirkenden Gesamtkraft beschleunigt, bis es seine Endgeschwindigkeit erreicht. Seine Ladung wird durch Messen seiner Endgeschwindigkeit bestimmt. Bei einem solchen Experiment hat das Kügelchen einen Radius von $r=\mathrm{5{,}50\cdot 10^{-7}\,m}$, und die Feldstärke beträgt $E=\mathrm{6{,}00\cdot 10^{4}\,N/C}$. Für den Betrag der Reibungskraft auf das Kügelchen gilt $F_{\mathrm{R}}=6\,\uppi\,\eta\,r\,v$; dabei ist $v$ seine Geschwindigkeit und $\eta=1{,}8\cdot 10^{-5}\,\mathrm{N\,s/m}^{2}$ die Viskosität von Luft. Polystyrol hat eine Dichte von $1{,}05\cdot 10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}$.  a) Das elektrische Feld zeigt nach unten, und das Polystyrolkügelchen erreicht eine Endgeschwindigkeit von $v=\mathrm{1{,}16\cdot 10^{-4}\,m/s}$. Wie groß ist die Ladung auf dem Kügelchen? b) Wie viele überschüssige Elektronen befinden sich auf ihm? c) Wie groß ist seine Endgeschwindigkeit, wenn die Richtung des elektrischen Felds umgekehrt wird, aber die Feldstärke gleich bleibt?

18.36

••• In Aufgabe 18.35 wurde das Millikan-Experiment beschrieben, das zur Bestimmung der Ladung des Elektrons dient. Dabei kann man die Richtung des elektrischen Felds durch einen Schalter umkehren (nach oben oder nach unten); die Feldstärke bleibt dabei unverändert, sodass man die Endgeschwindigkeit des Mikrokügelchens messen kann, wenn es sich nach oben (entgegen der Gravitationskraft) bzw. nach unten bewegt. Es sei $v_{\mathrm{u}}$ (Index u von up) die Endgeschwindigkeit, mit der sich das Teilchen nach oben bewegt, und $v_{\mathrm{d}}$ (Index d von down) die Endgeschwindigkeit bei einer Bewegung nach unten. a) Setzen Sie $v=v_{\mathrm{u}}+v_{\mathrm{d}}$ und zeigen Sie, dass $v=q\,E/(3\,\uppi\,\eta\,r)$ gilt (dabei ist $q$ die Nettoladung des Mikrokügelchens). Welchen Vorteil hat es bei der Bestimmung von $q$, anstelle einer einzigen Geschwindigkeit beide Geschwindigkeiten $v_{\mathrm{u}}$ und $v_{\mathrm{d}}$ zu messen? b) Weil die Ladung quantisiert ist, kann sich $v$ nur in Schritten mit dem Betrag $n\,|\Updelta v|$ ändern, wobei $n$ eine positive ganze Zahl ist. Berechnen Sie $\Updelta v$ mithilfe der Werte in Aufgabe 18.35.