Euklidische und unitäre Vektorräume – Geometrie in höheren Dimensionen

Zusammenfassung

Im vorangegangen Kapitel zur analytischen Geometrie haben wir ausführlich das kanonische Skalarprodukt im Anschauungsraum behandelt. Wir haben festgestellt, dass zwei Vektoren genau dann orthogonal zueinander sind, wenn ihr Skalarprodukt den Wert null ergibt.

Wir sind auch mit höherdimensionalen Vektorräumen und auch mit Vektorräumen, deren Elemente Funktionen oder Polynome sind, vertraut. Es ist daher eine naheliegende Frage, ob es auch möglich ist, ein Skalarprodukt zwischen Vektoren solcher Vektorräume zu erklären. Dabei sollte aber das vertraute Standardskalarprodukt des Anschauungsraums verallgemeinert werden. Dass dies in vielen Vektorräumen möglich ist, zeigen wir im vorliegenden Kapitel. Dabei können wir aber nicht mehr mit der Anschauung argumentieren. Wir werden vielmehr die algebraischen Eigenschaften des Skalarproduktes im Anschauungsraum nutzen, um ein (allgemeines) Skalarprodukt zu erklären. Damit gelingt es dann auch von einer Orthogonalität von Funktionen zu sprechen – Funktionen sind per Definition dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt den Wert null hat. Anders als im vorangegangenen Kapitel versagt aber für diesen allgemeineren Begriff der Orthogonalität im Allgemeinen jede Anschauung.