Minimalflächen

Eschenburg, Jost-Hinrich; Jost, Jürgen

doi:10.1007/978-3-642-38522-3_8

Jost-Hinrich Eschenburg³ &
Jürgen Jost⁴

Part of the book series: Springer-Lehrbuch Masterclass ((MASTERCLASS))

4949 Accesses

Zusammenfassung

Wir betrachten zunächst wieder eine beliebige C ²-Immersion $X:U\to \mathbb{E}$, wobei U wie immer eine offene Teilmenge von ℝ^m und $\mathbb{E}$ = $\mathbb{E}$ n ist. Die erste Fundamentalform von X sei g. Wir wollen zeigen, wie sich der Flächeninhaltvon $ \left. X \right|c $

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Notes

1.
$ {{\phi }^{s}}=id-s\upsilon $ ist eine Variation von id auf der kompakten Teilmenge $ C\subset U $. Deshalb ist $ \parallel \partial \upsilon \parallel $ beschränkt auf U, sagen wir $|\partial {{v}_{u}}w|\le L|w|$ für alle u ∊ U und $ w\in {{\mathbb{R}}^{m}} $ (man beachte υ = 0 auf U \ C). Somit ist $\partial \phi _{u}^{s}=I-s\partial {{v}_{u}}$ invertierbar für $ \left| s \right|\le {}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{L}\; $ . Folglich ist φ s lokaler Diffeomorphismus. Außerdem ist φ s auch global injektiv: Wenn U z.B. konvex ist und u ₁, u ₂ ∊ U verschieden sind, dann ist $|v({{u}_{1}})-v({{u}_{2}})|\le L|{{u}_{1}}-{{u}_{2}}|$ und für $|s|<1/L\,\text{ist}|{{\phi }^{s}}({{u}_{1}})-{{\phi }^{s}}({{u}_{2}})|>0$.
2.
Die doppelte Abhängigkeit von ${{{\tilde{X}}}^{s}}={{X}^{s}}\circ {{\phi }^{s}}$ von der Variablen s kann als Verkettung der Funktionen $ s\mapsto (s,s) $ und $(s,t)\mapsto {{X}^{s}}\circ {{\phi }^{t}}$ gedeutet werden. Die Ableitung der inneren Funktion $ s\mapsto (s,s) $ ist (1, 1) oder (als Vektor geschrieben) $ \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) $; damit ist

$$ \frac{{\partial {{\tilde X}^s}}}{{\partial s}} = \left( {\frac{\partial }{{\partial s}}{{({X^s}^\circ {\phi ^t})}_{t = s}},\frac{\partial }{{\partial t}}{{({X^s}^\circ {\phi ^t})}_{t = s}}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right) = \frac{\partial }{{\partial s}}{({X^s}^\circ {\phi ^t})_{t = s}} + \frac{\partial }{{\partial t}}{({X^s}^\circ {\phi ^t})_{t = s}} \cdot $$
3.
Eine solche Funktion konstruiert man z.B. mit Hilfe der ${{C}^{\infty }}$-Funktion $\mu :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ mit $ \mu (t)\, = \,0\,{\rm{f\ddot ur t}}\, \le \,0 $: Man setzt einfach $f(u)=\mu ({{\in }^{2}}-{{\left| u-{{u}_{o}} \right|}^{2}})$.
4.
Leonhard Euler, 1707 (Basel) – 1783 (St. Petersburg) Joseph-Louis Lagrange, 1736 (Turin) – 1813 (Paris)
5.
Für ein C ¹-Vektorfeld $\upsilon :W\to {{\mathbb{R}}^{n}}$ auf einer offenen Teilmenge $W\subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ ist die Divergenz die Spur der Ableitung: div v = Spur ∂v.
6.
Eine Teilmenge $U\subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ heißt sternförmig, bezüglich u _o ∊ U, wenn für jedes x ∊ U die Strecke $[u,{{u}_{o}}]=\{tx+(1-t){{x}_{o}};0\le t\le 1\}$ ganz in U liegt. U ist konvex, wenn U sternförmig für jedes u _o ∊ U ist.
7.
Man setze z.B. $f(r)=\int_{0}^{r}{{{(1-\mu (k(t-\varepsilon )))}^{2}}}$ dt für eine genügend große Konstante k, wobei $\mu :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ die in Fußnote 3 auf S. 101 definierte Funktion mit $\mu (t)=0$ für t ≤ 0 und $\mu (t){{e}^{-1/t}}$ für t > 0 ist. für $ s\to \infty $ verhält sich $ {{(1-\mu (s))}^{2}}={{(1/s+O(1/{{s}^{2}}))}^{2}} $ wie 1/s ² und ist damit integrierbar.
8.
www.iva.uni-ulm.de/PHYSIK/VORLESUNG/fluidemedien/node42.html
9.
Besser als Seife sind Stoffe, die aushärten, z.B. Tauchlack; die damit erzeugten Minimalflächen können dauerhaft gemacht werden. Eine von J. Neukirch und E.-M. Strobel geschaffene Sammlung von Minimalflächen befindet sich am Mathematischen Institut der Universität Regensburg
10.
Die Konstante λ heißt Lagrange-Multiplikator. Die Aussage entspricht der Kennzeichnung von Extrema mit Nebenbedingung, allerdings ist hier der Raum der Funktionen, auf dem ein Extremum gesucht wird, unendlich dimensional.
11.
H.Wente, Counterexample to a conjecture of H. Hopf, Pacific J. Math. 121(1986), 193–243, U. Abresch: Constant mean curvature tori in terms of elliptic functions, J. Reine Angew. Math. 374(1987), 169–192
12.
Ein krummes Flächenstück, z.B. ein Stück Eierschale, lässt sich im Allgemeinen nicht „plätten“, d.h. zu einem ebenen Flächenstück verbiegen; das verhindert die Kümmung (vgl. Kapitel 11, besonders Abschnitt 11.4)
13.
Der Name „isotherm“ stammt vermutlich von dem Mathematiker und Physiker Gabriel Lamé (1795 Tours – 1870 Paris), der um 1832 Niveauflächen von harmonischen Funktionen auf $\mathbb{E}$ ³ studierte; da die Wärmeverteilung in einem räumlichen Gebiet im thermischen Gleichgewicht durch eine solche Funktion beschrieben wird, sind deren Niveauflächen die Orte gleicher Temperatur (Isothermen). In einem Spezialfall dieser Situation bilden die Krümmungslinien der Niveauflächen ein konformes Parameterliniennetz; Flächen mit dieser speziellen Eigenschaft nennt man bis heute isotherme Flächen. Davon abgeleitet wurden konforme Parametrisierungen auf beliebigen Flächen isotherm genannt.
14.
Wilhelm Wirtinger, 1865–1945 (Ybbs, Niederösterreich)
15.
Dieses bilineare Skalarprodukt darf man nicht mit dem häufiger benutzten sesquilinearen und positiv definiten Hermiteschen Skalarprodukt $(a,b)=a*b=\sum\nolimits_{i}{\overline{{{a}_{i}}}{{b}_{i}}}=\left\langle \bar{a},b \right\rangle $ verwechseln, benannt nach Charles Hermite, 1822 (Dieuze, Frankreich) - 1901 (Paris).
16.
Im Unterschied zu Satz 6.4.2 wird hier der gewöhnliche Laplaceoperator auf ${{\mathbb{R}}^{2}}=\mathbb{C}$ verwandt; die Aussage gilt nur für konforme Parametrisierungen, während Satz 6.4.2 von der Wahl der Parametrisierung unabhängig ist.
17.
Nur bei der Funktion f(z) = 1/z muss man aufpassen: Die Stammfunktion ist wie im Reellen der Logarithmus, aber für $z=r\cdot {{e}^{i\phi }}$ ist $\log z=\log r+i\phi $ und leider ist der Winkel φ nur bis auf ein Vielfaches von 2π bestimmt. Man hilft sich durch Einschränkung des Winkelbereiches (z.B. φ ∈ (−π, π)), was oft eine Verkleinerung des Definitionsbereichs U nötig macht. Diese Schwierigkeiten entfallen, wenn U einfach zusammenhängend (z.B. konvex) ist.
18.
Natürlich dürfen wir Y mit einer beliebigen Konstanten $c=r{{e}^{i\theta }}\in {{\mathbb{C}}^{*}}$ multiplizieren, aber der reelle Faktor r bewirkt nur eine zentrische Streckung der Fläche X.
19.
Karl Theodor Wilhelm Weierstraß, 1815 (Ostenfelde) - 1897 (Berlin).
20.
Quotienten holomorpher Funktionen heißen meromorph. Nullstellen des Nenners meromorpher Funktionen nennt man Polstellen und ordnet ihnen den Funktionswert ∞ zu, wenn nicht auch der Zähler an dieser Stelle eine Nullstelle derselben oder höherer Ordnung besitzt und die Polstelle damit aufhebt.
21.
Für eine Beschreibung der Weierstraß-Darstellung vom Standpunkt der globalen Flächentheorie siehe [28].
22.
D.h. linear unabhängig Vektoren $ a,b\in {{T}_{x}}S $ bilden eine orientierte Basis genau dann, wenn det(a, b, x) > 0.
23.
Man beachte $\cos \frac{u}{i}=\sum\nolimits_{k}{{{(-1)}^{k}}\frac{1}{(2k)!}{{(-i)}^{2k}}{{u}^{2k}}}=\sum\nolimits_{k}{\frac{1}{(2k)!}{{u}^{2k}}}=\cosh u$, ebenso $\sin \frac{u}{i}=\sum\nolimits_{k}{{{(-1)}^{k}}\frac{1}{(2k+1)!}{{(-i)}^{2k+1}}{{u}^{2k+1}}}=(-i)\sinh u$.
24.
von lat. catena = Kette
25.
Eine „Helix#x201C; ist eine Schrauben- oder Schneckenlinie.
26.
www.cogsci.indiana.edu/farg/harry/mat/helicoid.htm
27.
Sergej Natanowitsch Bernstein, 1880 (Odessa) – 1968 (Moskau) S. Bernstein, Sur un theoreme de geometrie et ses applications aux equations aux derivees partielles du type elliptique, Comm. Soc. Math. Kharkov, 15 (1915–1917), 38–45.
28.
J. Simons: Minimal varieties in Riemannian manifolds, Ann. of Math. 88 (1968), 62–105;
29.
E. Bombieri, E. de Giorgi, E. Giusti: Minimal cones and the Bernstein problem, Inv. Math. 7, 1969, 243–268.
30.
D. Ferus, H. Karcher: Non-rotational minimal spheres and minimizing cones, Comm. Math. Helv. 60 (1985), 247–269.
31.
Das Schwerepotential eines Massenpunktes der Masse m ist bekanntlich V = mgy, wobei g die Gravitationskonstante und y die Höhe des Massenpunktes bezeichnet. Die Kette kann man sich aus einer großen Anzahl N von kleinen beweglichen starren Stangen zusammengesetzt denken; die i-te Stange befindet sich auf der Höhe y _i, ihre Länge ist s = L/N und ihre Masse μs. Das Potential ist damit $V=\mu g\sum\nolimits_{i}{yis}$, und im Limes $ N\to \infty $ ergibt sich (8.78) (mit μg = 1).
32.
Beachten Sie cosh² − sinh² = 1 und den Eindeutigkeitssatz B.1.1 für Differentialgleichungen
33.
Man zerlege die Fläche in schmale Kreisringe mit Radius $\widetilde{y}(s)$, Breite ds und Flächeninhalt $2\pi \widetilde{y}$ ds und summiere auf, oder man benutze (8.1).
34.
Es ist nicht ganz selbstverständlich, dass die Aufgaben 8.5 und 8.6 zum selben Ergebnis führen. Die Gleichung H = 0 ist äquivalent zum Verschwinden von ∂A für jede Variation der Fläche, hier dagegen lassen wir nur Variationen durch andere Drehflächen zu. Dies ist ein allgemeines Prinzip, genannt Palais-Prinzip (nach Richard Palais, geb. 1931):Wenn ein Variationsprinzip $\delta \int{f(X,\partial X)=0}$ in der Form $\left\langle {{H}_{X}}|\delta X \right\rangle =0$ geschrieben werden kann und mit X auch H _X unter einer Transformationsgruppe G invariant ist, dann genügt es, G-invariante Variationen von X zu betrachten: Weil nur das Skalarprodukt mit der G-invarianten Funktion H _X eine Rolle spielt, kann man ∂X durch seine orthogonale Projektion auf den Raum der G-invarianten Variationsvektorfelder ersetzen.
35.
Das umgrenzte Raumgebiet setzt sich aus kreisförmigen Scheiben mit Radius y, Dicke dx und Volumen $ \pi {{y}^{2}}dx $ zusammen; diese Volumina sind aufzusummieren.
36.
www.vmm.math.uci.edu/3D-XplorMath/Surface/unduloid/unduloid.html Der Satz geht zurück auf eine Arbeit von Charles Eugene Delaunay 1816 (Lusigny-sur-Barse) - 1872 (nahe Cherbourg): Sur la surface de révolution dont la courbure moyenne est constante, J. Math. pures et appl. (1)6 (1841), 309-320. Eine moderne Darstellung findet sich bei J. Eells: The surfaces of Delaunay, Math. Intelligencer 9 (1987), 53-57. Dort findet man auch den Beweis, dass die Rollkurve des Parabelbrennpunkts die Gleichung der Kettenlinie (8.86) erfüllt. Für λ, k > 0 erhält man die Rollkurve des Hyperbelbrennpunkts.
37.
Nach Übung 3 in Kapitel 3 sind dies keine Einschränkungen an die Regelfläche.
38.
Erich Kähler, 1906 (Leipzig) – 2000 (Wedel bei Hamburg).
39.
www.cogsci.indiana.edu/farg/harry/mat/helicoid.htm
40.
Der Ausdruck $\Phi =\hat{h}d{{z}^{2}}=\left\langle {{X}_{zz}},\nu \right\rangle d{{z}^{2}}$ ist invariant unter holomorphen Parameterwechseln $w=w(z)$, denn $dw=w\prime (z)dz$ und ${{\partial }_{w}}={{{\partial }_{z}}}/{w\prime (z)}\;$ (Kettenregel), daher ist ${{X}_{ww}}d{{w}^{2}}={{X}_{zz}}d{{z}^{2}}$. Dieser Ausdruck Φ wird Hopf-Differential genannt, nach Heinz Hopf, 1894 (Gräbschen bei Breslau) - 1971 (Zollikon, Schweiz). Vgl. auch (9.27) für eine analoge Bildung mit der ersten Fundamentalform.
41.
Hinweise: Benutzen Sie (1) ${{X}_{z\bar{z}}}=0$ und (2) $\left\langle {{X}_{z}},{{X}_{z}} \right\rangle =0$. Aus (1) folgt $\left\langle {{\nu }_{{\bar{z}}}},{{X}_{z}} \right\rangle =-\left\langle {{X}_{z\bar{z}}},\nu \right\rangle =0$. Folgern Sie daraus mit (2), dass ${{\nu }_{{\bar{z}}}}$ ein Vielfaches von X _z ist (beachten Sie $\left\langle {{X}_{{\bar{z}}}},{{X}_{z}} \right\rangle \ne 0$) und schließen Sie mit (2), dass $\left\langle {{X}_{zz}},{{\nu }_{{\bar{z}}}} \right\rangle =0$. Aus (1) folgt zudem ${{X}_{zz\bar{z}}}=0$.
42.
Das Hopf-Differential $\hat{h}d{{z}^{2}}$ mit $4\hat{h}={{h}_{uu}}-{{h}_{\upsilon \upsilon }}-2i{{h}_{u\upsilon }}$ ist auch noch für konform parametrisierte Flächen X mit konstanter mittlerer Krümmung holomorph. Daraus konnte Hopf einen ganz anderen „Seifenblasensatz“ zeigen als Alexandrov (vgl Satz 10.2.3): Auf der Sphäre ${{\text{S}}^{2}}=\hat{\mathbb{C}}$ muss nämlich jedes holomorphe Differential $f(z)d{{z}^{2}}=\tilde{f}(w)d{{w}^{2}}$ für beliebige Potenzreihen f,${\tilde{f}}$ und $w={1}/{z}\;$ identisch verschwinden, wie ein Vergleich von f(z)dz ² (keine negativen z-Potenzen) mit $ \tilde{f}(w)d{{w}^{2}}=\tilde{f}({{z}^{-1}}){{z}^{-4}}d{{z}^{2}} $ (negative z-Potenzen) zeigt. Somit ist $\hat{h}=0$, also ${{h}_{uu}}={{h}_{\upsilon \upsilon }}\text{und }{{h}_{u\upsilon }}=0$. Eine Immersion $X:\hat{C}\to {{\mathbb{E}}^{3}}$ mit H = const ist daher eine Nabelpunktfläche und damit nach Satz 7.1.1 eine runde Sphäre, vgl. [21].

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Institut für Mathematik, Universität Augsburg, Augsburg, Deutschland
Jost-Hinrich Eschenburg
Max Planck Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften, Leipzig, Deutschland
Jürgen Jost

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Eschenburg, JH., Jost, J. (2014). Minimalflächen. In: Differentialgeometrie und Minimalflächen. Springer-Lehrbuch Masterclass. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-38522-3_8

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