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Arithmetik: Leitidee Zahl

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Handbuch der Mathematikdidaktik

Zusammenfassung

Zahlen gehören zu den Ursprüngen der Mathematik. Das Rechnen mit Zahlen ist eine unabdingbare Kulturtechnik in unserer Gesellschaft. Zahlen sind Grundlage jeder quantitativen wissenschaftlichen Erfassung, der Wirtschaft und der Neuen Technologien. Die Beschäftigung mit Zahlen dient der Erfahrung des logisch-arithmetischen Durchdringens von Zusammenhängen und damit der Entwicklung des mathematischen Denkens. Zahlen durchziehen deshalb die Curricula aller Schulstufen.

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Literatur

  • Aebli, H. (1980). Denken das Ordnen des Tuns – Kognitive Aspekte der Handlungstheorie. Stuttgart: Klett-Cotta.

    Google Scholar 

  • Alten, H.-W., Djafari Naini, A., Folkerts, M., Schlosser, H., Schlote, K.-H., & Wußing, H. (2003). 4000 Jahre Algebra. Geschichte – Kulturen – Menschen. Berlin: Springer.

    MATH  Google Scholar 

  • American Psychiatric Association. (2013). Diagnostic and statistical manual of mental disorders. Arlington: American Psychiatric Publishing.

    Book  Google Scholar 

  • Andelfinger, B. (1985). Didaktischer Informationsdienst Mathematik. Thema: Arithmetik, Algebra und Funktionen. Soest: Landesinstitut für Schule und Weiterbildung.

    Google Scholar 

  • Bauer, L., Rolka, K., & Törner, G. (2005). Mentale Repräsentationen von Irrationalzahlen – eine Analyse von Schüleraufssätzen. Journal für Mathematikdidaktik, 26(1), 3–27.

    Article  Google Scholar 

  • Bauersfeld, H. (1978). Kommunikationsmuster im Mathematikunterricht. Eine Analyse am Beispiel der Handlungsverengung durch Antworterwartung. In H. Bauersfeld (Hrsg.), Fallstudien und Analysen zum Mathematikunterricht (S. 158–170). Hannover: Schroedel.

    Google Scholar 

  • Bauersfeld, H. (1983). Subjektive Erfahrungsbereiche als Grundlage einer Interaktionstheorie des Mathematiklernens und -lehrens. In H. Bauersfeld, H. Bussmann, & G. Krummheuer (Hrsg.), Lernen und Lehren von Mathematik. Analysen zum Unterrichtshandeln II (S. 1–56).Köln: Aulis.

    Google Scholar 

  • Bedürftig, Th., & Murawski, R. (2012). Philosophie der Mathematik. (2., erweiterte Auflage). Berlin: De Gruyter.

    Book  MATH  Google Scholar 

  • Brainerd, C. (1979). The origins of the number concept. New York: Praeger.

    Google Scholar 

  • Bruner, J. (1973/1964). Der Verlauf der kognitiven Entwicklung. In D. Spanhel (Hrsg.), Schülersprache und Lernprozesse. Düsseldorf: Schwann.

    Google Scholar 

  • Bürger, H., & Schweiger, F. (1973). Zur Einführung der reellen Zahlen. Didaktik der Mathematik, 1, 98–108.

    Google Scholar 

  • Burscheid, H. J., & Struve, H. (2010). Mathematikdidaktik in Rekonstruktionen – ein Beitrag zu ihrer Grundlegung. Hildesheim: Franzbecker.

    Google Scholar 

  • Butterworth, B., Varma, S., & Laurillard, D. (2011). Dyscalculia: From brain to education. Science, 332, 1049–1053.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  • Cassirer, E. (1910). Substanzbegriff und Funktionsbegriff. Untersuchungen über Grundfragen der Erkenntniskritik. Berlin: Verlag von Bruner Cassirer.

    Google Scholar 

  • Cassirer, E. (2010). Philosophie der symbolischen Formen. (Dritter Teil: Phänomenologie der Erkenntnis). Hamburg: Felix Meiner Verlag.

    Google Scholar 

  • Clements, H., & Sarama, J. (2011). Early childhood mathematics intervention. Science, 333, 968–970.

    Article  Google Scholar 

  • Courant, R., & Robbins, H. (1992). Was ist Mathematik? Berlin: Springer.

    Book  Google Scholar 

  • Damerow, P. (1981). Die Entstehung des arithmetischen Denkens: Zur Rolle der Rechenmittel in der altägyptischen und der altbabylonischen Arithmetik. In P. Damerow & W. Lefèvre (Hrsg.), Rechenstein, Experiment, Sprache. Historische Fallstudien zur Entstehung der exakten Wissenschaften (S. 11–113). Stuttgart: Klett-Cotta.

    Google Scholar 

  • Dantzig, T. (1930). Number, the language of science. New York: The Macmillan Company.

    Google Scholar 

  • Dedekind, R. (1969/1887). Was sind und was sollen die Zahlen? Studienausgabe der 10. Auflage. Braunschweig: Vieweg.

    Google Scholar 

  • Dehaene, St. (1999). Der Zahlensinn oder warum wir rechnen können. (Aus dem Amerikan. von Anita Ehlers). Basel: Birkhäuser.

    Google Scholar 

  • Devine, A., Soltész, F., Nobes, A., Goswami, U., & Szücs, D. (2013). Gender differences in developmental dyscalculia depend on diagnostic criteria. Learning and Instruction, 27, 31–39.

    Article  Google Scholar 

  • Dienes, Z. P. (1968). Bruchrechnen. Freiburg: Herder.

    Google Scholar 

  • Dilling, H., Mombour, W., & Schmidt, M. H. (2013). Internationale Klassifikation psychischer Störungen. ICD-10 Kapitel V(F). Klinisch-diagnostische Leitlinien. Bern: Huber.

    Google Scholar 

  • Epple, M. (1999). Das Ende der Größenlehre: Grundlagen der Analysis 1860–1910. In H. N. Jahnke (Hrsg.), Geschichte der Analysis (S. 371–410). Heidelberg: Spektrum.

    Google Scholar 

  • Engelkamp, J. (1990). Das menschliche Gedächtnis. Göttingen: Hogrefe.

    Google Scholar 

  • Engelkamp, J., & Zimmer, H. (1985). Motor programs and their relations to semantic memory. The German Journal of Psychology, 9(3), 239–254.

    Google Scholar 

  • Euklid. (1980). Die Elemente. Nach Heibergs Text aus dem Griechischen übersetzt und herausgegeben von Clemens Thaer. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.

    Google Scholar 

  • Freudenthal, H. (1977). Mathematik als pädagogische Aufgabe (Bd. 1). Stuttgart: Klett.

    Google Scholar 

  • Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures. Dordrecht: Kluwer.

    Google Scholar 

  • Freudenthal, H. (1989). Einführung der negativen Zahlen nach dem geometrisch-algebraischen Permanenzprinzip. Mathematik lehren 35, 26–37.

    Google Scholar 

  • Fritz, A., Ricken, G. & Schmidt, S. (Hrsg.) (2009). Handbuch Rechenschwäche. Lernwege, Schwierigkeiten und Hilfen bei Dyskalkulie. Weinheim: Beltz.

    Google Scholar 

  • Gelman, R., & Gallistel, C. (1978). The child’s understanding of number. Cambridge: Harvard University Press.

    Google Scholar 

  • Gerster, H.-D. (1982). Schülerfehler bei schriftlichen Rechenverfahren – Diagnose und Therapie. Herder: Freiburg.

    Google Scholar 

  • Glaeser, G., & Polthier, K. (2010). Bilder der Mathematik. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.

    Book  Google Scholar 

  • Gowers, T. (2002). Mathematics: A very short introduction. Oxford: Oxford University Press.

    Book  Google Scholar 

  • Gross, J., Hudson, C., & Price, D. (2009).The long term costs of numeracy difficulties. London: Every Child a Chance Trust and KPMG.

    Google Scholar 

  • Hankel, H. (1867). Theorie der complexen Zahlsysteme, insbesondere der gemeinen imaginären Zahlen und der Hamiltonschen Quaternionen. Leipzig: Voss.

    Google Scholar 

  • Hasemann, K. (1986). Mathematische Lernprozesse: Analysen mit kognitionstheoretischen Modellen. Braunschweig: Vieweg.

    Book  Google Scholar 

  • Hasemann, K., & Gasteiger, H. (2014). Anfangsunterricht Mathematik. Berlin: Springer Spektrum.

    Book  Google Scholar 

  • Hefendehl-Hebeker, L. (1989). Die negativen Zahlen zwischen anschaulicher Deutung und gedanklicher Konstruktion. Mathematik lehren, 35, 6–12.

    Google Scholar 

  • Hefendehl-Hebeker, L. (2001). Die Wissensform des Formelwissens. In Weiser, W. & Wollring, B. (Hrsg.), Beiträge zur Didaktik der Mathematik für die Primarstufe. Festschrift für Siegbert Schmidt (S. 83–98). Hamburg: Dr. Kovac.

    Google Scholar 

  • Hefendehl-Hebeker, L., & Prediger, S. (2006). Unzählig viele Zahlen: Zahlbereiche erweitern, Zahlvorstellungen wandeln. Praxis der Mathematik in der Schule, 48(11), 1–7.

    Google Scholar 

  • Holland, G. (1973). Dezimalbrüche und reelle Zahlen. Der Mathematikunterricht, 3, 5–26.

    Google Scholar 

  • Ifrah, G. (1998). Universalgeschichte der Zahlen. Frankfurt: Campus.

    Google Scholar 

  • Jahnke, H. N., Steinbring, H., & Vogel, D. (1975). Zahlbegriff und Rechenfertigkeit – zur Problematik der Entwicklung wissenschaftlicher Begriffe. Educational Studies in Mathematics, 6, 213–252.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  • Kaplan, R. (2006). Die Geschichte der Null. München: Piper.

    Google Scholar 

  • Kirsch, A. (1994). Mathematik wirklich verstehen: Eine Einführung in ihre Grundbegriffe und Denkweisen. Köln: Aulis.

    Google Scholar 

  • Kimura, D. (1999). Sex and cognition. Cambridge: MIT Press.

    Google Scholar 

  • Klix, F. (1992). Die Natur des Verstandes. Göttingen: Hogrefe.

    Google Scholar 

  • Kovas, Y., Haworth, C., Dale, P., & Plomin, R. (2007). The genetic and environmental origins of learning abilities and disabilities in the early school years. Monographs of the Sociecty for Research in Child Development, 72, 1–144.

    Google Scholar 

  • Krämer, S. (1988). Symbolische Maschinen: Die Idee der Formalisierung im historischen Abriß. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.

    Google Scholar 

  • Krämer, S. (2003). ,Schriftbildlichkeit ‘ oder: Über eine (fast) vergessene Dimension der Schrift. In S. Krämer & H. Bredekamp (Hrsg.), Bild – Schrift – Zahl (S. 157–176). München: Wilhelm Fink Verlag.

    Google Scholar 

  • Krauthausen, G., & Scherer, P. (2006). Einführung in die Mathematikdidaktik. München: Spektrum Akademischer Verlag, Elsevier.

    Google Scholar 

  • Krummheuer, G., & Voigt, J. (1991). Interaktionsanalysen von Mathematikunterricht. In H. Maier & J. Voigt (Hrsg.), Interpretative Unterrichtsforschung (S. 13–32). Köln: Aulis.

    Google Scholar 

  • Kultusministerkonferenz – KMK. (Hrsg.). (2003). Bildungsstandards im Fach Mathematik für den mittleren Schulabschluss. Neuwied: Wolters-Kluwer & Luchterhand.

    Google Scholar 

  • Laurence, S., & Margolis, E. (2005). Number and natural language. In P. Carruthers, S. Laurence, & S. Stich (Hrsg.), The innate mind, vol. 1: Structure and contents (S. 216–235). Oxford: Oxford University Press.

    Google Scholar 

  • Le Corre, M., Van de Walle, G., Brannon, E. M., & Carey, S. (2006). Re-visiting the competence/performance debate in the acquisition of the counting principles. Cognitive Psychology, 52, 130–169.

    Article  Google Scholar 

  • Lefèvre, W. (1981). Rechenstein und Sprache. Zur Begründung der wissenschaftlichen Mathematik durch die Pythagoreer. In P. Damerow & W. Lefèvre (Hrsg.), Rechenstein, Experiment, Sprache. Historische Fallstudien zur Entstehung der exakten Wissenschaften (S. 115–169). Stuttgart: Klett-Cotta.

    Google Scholar 

  • Malle, G. (1989). Die Entstehung negativer Zahlen als eigene Denkgegenstände. Mathematik lehren, 35, 14–17.

    Google Scholar 

  • Menninger, K. (1979). Zahlwort und Ziffer – eine Kulturgeschichte der Zahl. Göttingen: Vandenhoeck und Ruprecht.

    MATH  Google Scholar 

  • Moser Opitz, E. (2008). Zählen – Zahlbegriff – Rechnen. Theoretische Grundlagen und eine empirische Untersuchung zum mathematischen Erstunterricht in Sonderklassen. Bern: Haupt.

    MATH  Google Scholar 

  • Müller, G. N., Steinbring, H., Wittmann, E. Ch. (1997). 10 Jahre „mathe 2000“. Bilanz und Perspektiven. Düsseldorf: Klett.

    Google Scholar 

  • Müller, G. N., & Wittmann, E. Ch. (1984). Der Mathematikunterricht in der Primarstufe. Braunschweig: Vieweg.

    Book  Google Scholar 

  • Nissen, H., Damerow, P., & Englund, R. (2004). Informationsverarbeitung vor 5000 Jahren: Frühe Schrift und Techniken der Wirtschaftsverwaltung im alten Vorderen Orient. Hildesheim: Franzbecker.

    Google Scholar 

  • OECD. (2010). The high cost of low educational performance: The long-run economic impact of improving educational outcomes. Paris: OECD Publishing.

    Book  Google Scholar 

  • Padberg, F. (2009). Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.

    Book  MATH  Google Scholar 

  • Padberg, F., & Benz, Ch. (2011). Didaktik der Arithmetik. München: Spektrum Akademischer Verlag, Elsevier.

    MATH  Google Scholar 

  • Paivio, A. (1986). Mental representations: A dual coding approach. New York: Oxford University Press.

    Google Scholar 

  • Prediger, S. (2009). „Because ‚of’ is always minus …“ – Students explaining their choice of operations in multiplicative word problems with fractions. In M. Tzekaki, M. Kaldrimidou, & H. Sakonidis (Hrsg.), Proceedings of the 33rd conference of the international group for the psychology of mathematics education (S. 4–409–4–416). Thessaloniki: PME.

    Google Scholar 

  • Radatz, H. (1980). Fehleranalysen im Mathematikunterricht. Braunschweig: Vieweg.

    Book  Google Scholar 

  • Radatz, H., Schipper, W., Ebeling, A., & Dröge, R. (1996–2000). Handbuch für den Mathematikunterricht (Bd. 1–4). Hannover: Schroedel.

    Google Scholar 

  • Radbruch, K. (1997). Mathematische Spuren in der Literatur. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.

    MATH  Google Scholar 

  • Radford, L. (2010). Signs, gestures, meanings: Algebraic thinking from a cultural semiotic perspective. Proceedings of CERME 6, January 28th – February 1st 2009, Lyon France. http://ife.ens-lyon.fr/editions/editions-electroniques/cerme6/ Zugegriffen: 6. August 2014.

  • Rüede, Ch. (2012). Ein Blick für Termstrukturen. Aufgabenformate zum relationalen Denken. Mathematik lehren, 171, 55–59.

    Google Scholar 

  • Ruf, U., & Gallin, P. (1998). Dialogisches Lernen in Sprache und Mathematik. Band I: Austausch unter Ungleichen: Grundzüge einer interaktiven und fächerübergreifenden Didaktik. Seelze-Velber: Kallmeyer.

    Google Scholar 

  • Schink, A. (2013). Flexibler Umgang mit Brüchen. Empirische Erhebung individueller Strukturierungen zu Teil, Anteil und Ganzem. Wiesbaden: Springer Spektrum.

    Google Scholar 

  • Schipper, W. (2002). Thesen und Empfehlungen zum schulischen und außerschulischen Umgang mit Rechenstörungen. Journal für Mathematik-Didaktik, 23, 243–261.

    Article  Google Scholar 

  • Schubring, G. (1986). Ruptures dans le statut mathématique des nombres négatifs. „petit x“, 12, 5–32.

    MathSciNet  Google Scholar 

  • Schwank, I. (2011). Mathematisches Grundverständnis: Denken will erlernt werden. In H. Keller (Hrsg.), Handbuch der Kleinkindforschung (S. 1154–1174). Bern: Hans Huber.

    Google Scholar 

  • Schwank, I. (2013). Die Schwierigkeit des Dazu-Denkens. In M. von Aster & J.-H. Lorenz (Hrsg.), Rechenstörungen bei Kindern. Neurowissenschaft, Psychologie, Pädagogik (S. 93–138). Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht.

    Google Scholar 

  • Schwank, I. (2014). Freude mit Mathematik – Grundlagen zur Mathematischen Frühförderung. Osnabrück: Forschungsinstitut für Mathematikdidaktik.

    Google Scholar 

  • Sesiano, J. (1990). Aufnahme und Fortführung der arabischen Algebra im europäischen Mittelalter. In E. Scholz (Hrsg.), Geschichte der Algebra. Eine Einführung (S. 128–150). Mannheim: BI-Wissenschaftsverlag.

    Google Scholar 

  • Sfard, A. (1995). The development of algebra: Confronting historical and psychological perspectives. Journal of Mathematical Behavior, 14, 15–39.

    Article  Google Scholar 

  • Sfard, A. (2000). Symbolizing mathematical reality into being: Or how mathematical discourse and mathematical objects create each other. In P. Cobb, E. Yackel, & K. McClain (Hrsg.), Symbolizing and communicating in mathematics classroom: Perspectives on discourse, tools and instrumental design (S. 37–98). Maywah: Lawrence Erlbaum Associates.

    Google Scholar 

  • Selter, Ch., & Spiegel, H. (2000). Wie Kinder rechnen. Leipzig: Klett.

    Google Scholar 

  • Steinbring, H. (2009). The construction of new mathematical knowledge in classroom interaction – An epistemological perspective. Berlin: Springer.

    MATH  Google Scholar 

  • Taschner, R. (2009). Rechnen mit Gott und der Welt: Betrachtung von allem plus eins. Salzburg: Ecowin.

    Google Scholar 

  • Taschner, R. (2013). Die Zahl, die aus der Kälte kam: Wenn Mathematik zum Abenteuer wird. München: Carl Hanser Verlag.

    Book  Google Scholar 

  • Thiele, R. (1999). Antike. In H. N. Jahnke (Hrsg.), Geschichte der Analysis (S. 5–42). Heidelberg: Spektrum.

    Google Scholar 

  • Tropfke, J. (1980). Geschichte der Elementarmathematik. Bd. 1: Arithmetik und Algebra. (Vollständig neu bearbeitet von Kurt Vogel, Karin Reich und Helmut Gericke). Berlin: Walter de Gruyter.

    Google Scholar 

  • Van der Waerden, B. L. (1954). Denken ohne Sprache. In G. Révész (Hrsg.), Thinking and speaking (S. 165–174). Amsterdam: North-Holland.

    Google Scholar 

  • Vom Hofe, R. (1995). Grundvorstellungen mathematischer Inhalte. Heidelberg: Spektrum.

    Google Scholar 

  • Von Aster, M., & Lorenz, J.-H. (Hrsg.). (2005). Rechenstörungen bei Kindern: Neurowissenschaft, Psychologie, Pädagogik. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht.

    Google Scholar 

  • Winter, H. (1975). Allgemeine Lernziele für den Mathematikunterricht. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik (ZDM), 7, 106–116.

    Google Scholar 

  • Winter, H. (1984). Begriff und Bedeutung des Übens. Mathematik lehren, 2, 4–11.

    Google Scholar 

  • Winter, H. (1989). Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. Braunschweig: Vieweg.

    Book  Google Scholar 

  • Wittmann, E. Ch. (1981). Grundfragen des Mathematikunterrichts. Braunschweig: Vieweg.

    Book  Google Scholar 

  • Wittmann, E. Ch. (2002). Developing mathematics education in an systemic process. Plenary lecture at ICME 9. ESM 48, 1–20.

    Google Scholar 

  • Wittmann, E. Ch. (2004). Design von Lernumgebungen zur mathematischen Frühförderung. In G. Faust, M. Götz, H. Hacker, & H.-G. Roßbach (Hrsg.), Anschlussfähige Bildungsprozesse im Elementar- und Primarbereich (S. 49–63). Bad Heilbrunn: Klinkhardt.

    Google Scholar 

  • Wittmann, E. Ch. (2012a). Das Projekt „mathe 2000“: Wissenschaft für die Praxis – eine Bilanz aus 25 Jahren didaktischer Entwicklungsforschung. In G. N. Müller, Ch. Selter, & E. Ch. Wittmann (Hrsg.), Zahlen, Muster und Strukturen. Spielräume für aktives Lernen und Üben (S. 265–279). Stuttgart: Klett.

    Google Scholar 

  • Wittmann, E. Ch. (2012b). www.mathematik.uni-dortmund.de/ieem/mathe2000/pdf/Grund-konzeption mathe 2000.pdf. Zugegriffen: 7. März 2013.

  • Wittmann, E. Ch., & Müller, G. N. (1990/1992). Handbuch produktiver Rechenübungen. Bd. 1: Vom Einspluseins zum Einmaleins. Bd. 2: Vom halbschriftlichen zum schriftlichen Rechnen. Stuttgart: Klett.

    Google Scholar 

  • Wunderling, H. (1973). Reelle Zahlen. Der Mathematikunterricht, 3, 27–66.

    Google Scholar 

  • Wußing, H. (2008). 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise – 1. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. Berlin: Springer.

    MATH  Google Scholar 

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Hefendehl-Hebeker, L., Schwank, I. (2015). Arithmetik: Leitidee Zahl. In: Bruder, R., Hefendehl-Hebeker, L., Schmidt-Thieme, B., Weigand, HG. (eds) Handbuch der Mathematikdidaktik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-35119-8_4

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