Mathematics Between Research, Application, and Communication

Abstract

Possibly more than any other science, mathematics of today finds itself between the conflicting demands of research, application, and communication.

A great part of modern mathematics regards itself as searching for inner mathematical structures just for their own sake, only committed to its own axioms and logical conclusions. To do so, neither assumptions nor experience nor applications are needed or desired.

On the other hand, mathematics has become one of the driving forces in scientific progress and moreover, has even become a cornerstone for industrial and economic innovation. However, public opinion stands in strange contrast to this, often displaying a large amount of mathematical ignorance.

In this article, which is addressed to a readership without any special mathematical education, I shall look at these tensions and try to reveal some of the causes that lie underneath. I will also try to explain a current scientific research topic, but mainly focus on the question whether it is possible or necessary to transmit an understanding of mathematics to the general public.

I am aware that my ideas on mathematics, which are presented here as theses in a rather dense form, certainly do need further elaboration. Nevertheless I hope that they are interesting enough to stimulate further discussions.

Extended version of talks held in Hannover, October 2009, Kiev, November 2009, and Óbidos, September 2010.

Appendix: Notes and References

Several of the quotations in this article are common knowledge but, when cited, their origin is often not documented. I have made special effort to give the original source or, when this turns out to be impossible, to provide a reliable “second-hand” source. Moreover, whenever I have access to the original source of a quotation and when I find it helpful, I cite also some of the surrounding text. In order to allow a smooth reading I give in the main text an English translation when the original quotation is not in English, while the References contain the original version.

• 1. “What the scientist aims at is to secure a logically consistent transcript of nature. Logic is for him what the laws of proportion and perspective are to the painter, and I believe with Henri Poincaré that science is worth pursuing because it reveals the beauty of nature. And here I will say that the scientist finds his reward in what Henri Poincaré calls the joy of comprehension, and not in the possibilities of application to which any discovery of his may lead.”

  Albert Einstein, in: Epilogue, A Socratic Dialogue, p. 211, Interlocutors: Max Planck, Albert Einstein, James Murphy. In: Max Planck, “Where is Science Going?” Norton, New York, 226 pages (1932)

• 2. “Philosophy is written in that great book which ever lies before our eyes—I mean the universe—but we cannot understand it if we do not first learn the language and grasp the symbols, in which it is written. This book is written in the mathematical language, and the symbols are triangles, circles and other geometrical figures, without whose help it is impossible to comprehend a single word of it; without which one wanders in vain through a dark labyrinth.”

  Galileo Galilei, in: Opere Complete di Galileo Galilei, Firenze, 1842, ff, vol. IV, p. 171, as quoted by Edwin Arthur Burtt: The Metaphysical Foundations of Modern Science, p. 75, Dover Reprint, New York, 352 pages (2003)

• 3. “Ich komme aus dem Lande, das Land der Mathematiker geblieben ist, […] auch der mathematischen Studien, welche die Seele aller industriellen Fortschritte sind.”

  Attributed to Alexander von Humboldt, in: Roland Z. Bulirsch, Weltfahrt als Dichtung, p. 14, in: “Dokumentation zur Verleihung des Literaturpreises der Konrad-Adenauer-Stiftung e.V. an Daniel Kehlmann”, 52 pages (2006)

• 4. “ ‘Ohne Mathematik tappt man doch immer im Dunkeln’, das schrieb vor mehr als 150 Jahren Werner von Siemens an seinen Bruder Wilhem.”

  Quote taken from: Peter Löscher, Siemens AG, p. 99, in: “MATHEMATIK – Motor der Wirtschaft”, Eds. G.-M. Greuel, R. Remmert, G. Rupprecht; Springer Verlag, 125 pages (2008)

• 5. “Es gehört eine gewisse Kühnheit dazu, in einer Kultur, die sich durch ein profundes mathematisches Nichtwissen auszeichnet, derartige Übersetzungsversuche zu unternehmen.” Hans Magnus Enzensberger, Zugbrücke außer Betrieb - Drawbrigde Up, p. 44, A K Peters LTD, Natick, MA, 48 pages (1999)

• 6. Archives of the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach

• 7. The text of this section is, slightly modified, taken from: Editorial of the Oberwolfach Reports, published by the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach in cooperation with the European Mathematical Society

• 8. “Der erste große Name im Gästebuch ist Heinz Hopf (Zürich), ein Topologe von Weltruf. Im November 1946 war Henri Cartan, dessen Familie während der deutschen Besatzung großes Leid erdulden mußte, zu Besuch. Ohne Hopf und Cartan wäre Oberwolfach damals vielleicht eine “Sommerfrische für Mathematiker” geblieben, wo würdige Herren in beschaulicher Ruhe klassische Theorien polierten. Gott sei Dank kam es anders.”

  Reinhold Remmert, Mathematik in Oberwolfach – Erinnerungen an die ersten Jahre, p. 1. Grußwort zur Einweihung der Bibliothekserweiterung am 5. Mai 2007, published by the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, 27 pages (2008). See also Annual Report 2007 of the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, http://www.mfo.de/scientific-programme/publications/annual-publications

• 9. Archives of the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach

• 10. For a historical appreciation of the “Deutsch-Französische Arbeitsgemeinschaft”, a meeting of young German and French mathematicians in Oberwolfach, see: Maria Remenyi, Oberwolfach im August 1949: Deutsch-Franzosische Sommerfrische, Math. Semesterber., Mathematische Bildergalerie, Springer (2011)

• 11. “Das Lesen dieser Zeilen erfordert im Prinzip keinerlei spezielle (∗) mathematische Kenntnisse, dennoch sind sie für Leser bestimmt, die zumindest ein gewisses Gefühl entwickelt haben für die mathematisch und vielsprachig freundschaftliche Atmosphäre, an der wir uns auf dem Lorenzenhof erfreut haben. Es ist äußerst schwierig, die auserlesene Vielfalt der Strukturen, die diese Atmosphäre zustande bringt, zu analysieren; es ist zudem noch viel schwieriger, die Gunstbeweise, die uns durch unsere Gastgeber zu Teil wurden, in ihrer Gesamtheit auch nur zum Teil einzuordnen. Dennoch wagen wir es hier, das Auswahlaxiom (∗∗) anzuwenden, um ein maximales Element auszuzeichnen: unseren Dank an Herrn und Frau Süss, die es uns ermöglichten, für einige Tage diesem alten Mythos (∗∗∗) der Abbaye de Thélème Leben zu verleihen, der uns so sehr am Herzen liegt.

  Literaturangaben:

  • (∗) Sankt Nikolaus Evangelium, Einleitung, 1. Vers

  • (∗∗) Sankt Nikolaus, op. cit. pars prima, lib. primus, III, Kapitel 4

  • (∗∗∗) F. Rabelais, Opera omnia, passim.

  Jean Arbault, Jean-Pierre Serre, René Thom, A. Pereira Gomez, Josiane Serre, Georges Reeb, Bernard Charles, Jean Braconnier.”

  Guestbook of the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, No 1, p. 2. German translation see [8], p. 7 and [10]. Online at http://oda.mfo.de/view/viewer.jsf

• 12. “Wir alle wissen, daß Mathematik nicht popularisierbar ist. Sie hat bis heute im öffentlichen Leben unseres Landes nicht die Stellung, die ihr Kraft der Tragweite ihrer Inhalte zukommt. Vorträge, wo die Hörer vom babylonischen Sprachgewirr und Formelgestrüpp taub und blind werden, eignen sich nicht für Werbung. Noch weniger helfen gut gemeinte Reden, wo Mathematik zu einer Rechenkunst oder gar Pop-Kultur erniedrigt wird. Mathematik ist nach Gauß ‘regina et ancilla’, Königin und Magd in einem. Die ‘Nützlichkeit nutzlosen Denkens’ kann man vielleicht öffentlichkeitswirksam propagieren, Einblicke in das Wesen mathematischer Forschung lassen sich nach meiner Erfahrung nicht geben.” [8], loc. cit., p. 20

• 13. According to Proclus, a neo platonist (412–485 A.D.), Euclid replied to King Ptolemy, who asked whether he could not learn geometry more easily than by studying the Elements: “There is no royal road to geometry.”

  Quote taken from http://www.1902encyclopedia.com/E/EUC/euclid-mathematician.html

• 14. Poster of the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach. Design by Boy Müller

• 15. “Someone told me that each equation I included in the book would halve the sales. I therefore resolved not to have any equations at all. In the end, however, I did put in one equation, Einstein’s famous equation, E=mc ². I hope that this will not scare off half of my potential readers.”

  Stephen W. Hawking, A Brief History of Time, “Acknowledgments”, Bantam Dell Publishing Group, 224 pages (1988)

• 16. Compare this with the dialogue from the preface of Ian Stewart’s The Problems of Mathematics (Oxford Univ. Press, 1987) where a mathematician is chatting with a fictional layman “Seamus Android”:

  • Mathematician: It’s one of the most important discoveries of the last decade!

  • Android: Can you explain it in words ordinary mortals can understand?

  • Mathematician: Look, buster, if ordinary mortals could understand it, you wouldn’t need mathematicians to do the job for you, right? You can’t get a feeling for what’s going on without understanding the technical details. How can I talk about manifolds without mentioning that the theorems only work if the manifolds are finite-dimensional paracompact Hausdorff with empty boundary?

  • Android: Lie a bit.

  • Mathematician: Oh, but I couldn’t do that!

  • Android: Why not? Everybody else does.

  • Mathematician (tempted, but struggling against a lifetime’s conditioning): But I must tell the truth.

  • Android: Sure. But you might be prepared to bend it a little, if it helps people understand what you’re doing.

  • Mathematician (sceptical, but excited at his own daring): Well, I suppose I could give it a try.

  Quote taken from: [5], loc. cit., p. 45–47

• 17. Picture by Christian Ucke, http://users.physik.tu-muenchen.de/cucke

• 18. Picture from http://www.atlascuisinesolaire.com

• 19. Francesco Severi, Vorlesungen über algebraische Geometrie, Teubner, 408 pages (1921)

• 20. Gert-Martin Greuel, Christoph Lossen, Eugenii Shustin, Plane curves of minimal degree with prescribed singularities, Invent. Math. 133, 539–580 (1998)

• 21. Gert-Martin Greuel, Gerhard Pfister, Hans Schoenemann, SINGULAR—A Computer Algebra System for Polynomial Computations, free software, http://www.singular.uni-kl.de (1990–to date)

• 22. Wolf Barth, Two Projective Surfaces with Many Nodes Admitting the Symmetries of the Icosahedron, J. Alg. Geom. 5, 173–186 (1996)

• 23. Picture produced with the ray tracer surfer, free software, http://www.imaginary-exhibition.com/surfer.php

• 24. “In this purely algebraic way based on the adjunction argument we master the orthogonal and the symplectic invariants. This procedure has even stood the test in certain special cases where the statement of full reducibility breaks down.

  In these days the angel of topology and the devil of abstract algebra fight for the soul of each individual mathematical domain. […].

  I feel bound to add a personal confession. In my youth I was almost exclusively active in the field of analysis; the differential equations and expansions of mathematical physics were the mathematical things with which I was on the most intimate footing. I have never succeeded in completely assimilating the abstract algebraic way of reasoning, and constantly feel the necessity of translating each step into a more concrete analytic form. But for that reason I am perhaps fitter to act as intermediary between old and new than the younger generation which is swayed by the abstract axiomatic approach, both in topology and algebra.”

  Hermann Weyl, Invariants, pp. 500–501, Duke Mathematical Journal 5, 489–502 (1939)

• 25. “One way to put the dichotomy in a more philosophical or literary framework is to say that algebra is to the geometer what you might call the ‘Faustian offer’. As you know, Faust in Goethe’s story was offered whatever he wanted (in his case the love of a beautiful woman), by the devil, in return for selling his soul. Algebra is the offer made by the devil to the mathematician. The devil says: ‘I will give you this powerful machine, it will answer any question you like. All you need to do is give me your soul: give up geometry and you will have this marvellous machine.’ (Nowadays you can think of it as a computer!) Of course we like to have things both ways; we would probably cheat on the devil, pretend we are selling our soul, and not give it away. Nevertheless, the danger to our soul is there, because when you pass over into algebraic calculation, essentially you stop thinking; you stop thinking geometrically, you stop thinking about the meaning.”

  Sir Michal Atiyah, Special Article—Mathematics in the 20th Century, p. 7, Bull. London Math. Soc. 34, 1–15 (2002)

• 26. Nicholas Bourbaki, The Architecture of Mathematics, p. 231, Amer. Math. Monthly 57, No. 4, 221–232 (1950)

• 27. Gert-Martin Greuel, Reinhold Remmert, Gerhard Rupprecht, Eds., MATHEMATIK – Motor der Wirtschaft, see [4]

• 28. “Das Instrument, welches die Vermittlung bewirkt zwischen Theorie und Praxis, zwischen Denken und Beobachten, ist die Mathematik; sie baut die verbindende Brücke und gestaltet sie immer tragfähiger. Daher kommt es, dass unsere ganze gegenwärtige Kultur, soweit sie auf der geistigen Durchdringung und Dienstbarmachung der Natur beruht, ihre Grundlage in der Mathematik findet.”

  David Hilbert, Naturerkennen und Logik, Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte in Königsberg, 1930. Quote taken from: http://quantumfuture.net/gn/zeichen/hilbert.html, linking to an mp3 version of the original speech by Hilbert. For the English translation see: http://math.ucsd.edu/~williams/motiv/hilbert.html

• 29. Godfrey H. Hardy, A Mathematician’s Apology, pp. 32–33, Cambridge University Press, 52 pages (1940)

• 30. “Die besprochenen Arbeiten von Gauß auf dem Gebiet der angewandten Mathematik möchte ich als Krönung seines Lebenswerkes bezeichnen. Der eigentliche Kern und das Fundament seiner Leistungen aber liegt auf dem Gebiet der reinen Mathematik, der er sich in seinen Jugendjahren widmete.”

  Felix Klein, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, p. 24, Reprint, Springer Verlag, 208 pages (1970)

• 31. See [29], loc. cit. p. 49

• 32. See [29], loc. cit. p. 39

• 33. “Dagegen scheint mir aber jede überflüssige Einengung des mathematischen Forschungstriebes eine viel größere Gefahr mit sich zu bringen und eine um so größere, als dafür aus dem Wesen der Wissenschaft keinerlei Rechtfertigung gezogen werden kann; denn das Wesen der Mathematik liegt gerade in Ihrer Freiheit.”

  Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen, p. 182, Ed. Ernst Zermelo, Springer, 486 pages (1932)

• 34. “Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen hat, soll uns niemand vertreiben können.” David Hilbert, Über das Unendliche, p. 170, Math. Ann. 95, 161–190 (1926)

• 35. “Obwohl ich an der Anwendung naturwissenschaftlicher Kenntnis für zerstörerische Zwecke, wie die Herstellung der A-Bombe oder der H-Bombe, nicht teilgenommen habe, fühle ich mich verantwortlich.”

  Max Born, Erinnerungen und Gedanken eines Physikers, in: Max und Hedwig Born, Der Luxus des Gewissens: Erlebnisse und Einsichten im Atomzeitalter, p. 73, Nymphenburger Verlagshandlung, 200 pages (1969)

• 36. “Die Beschränkung auf reine Naturerkenntnis durch die Verbindung von Experiment und theoretischer Beschreibung mit Hilfe mathematischer Strukturen ist die subjektive Bedingung der Möglichkeit der Entfaltung dieser Wissenschaft als Macht. Die Entwicklung der Mathematik als selbstreferentielle Wissenschaft verstärkt die Machtförmigkeit der Wissenschaft insgesamt. […] Daß der Mesch sich der Wirklichkeit bemächtigt, daß er sie sich zurechtmacht, gehört zu seinem Wesen. Darüber soll man nicht traurig sei, wohl aber darüber, daß die Verführung der Macht unsere Menschlichkeit zu zerstören droht.”

  Egbert Brieskorn, Gibt es eine Wiedergeburt der Qualität in der Mathematik?, p. 257–258, in: Wissenschaft zwischen Qualitas und Quantitas, Ed. Erwin Neuenschwander, Birkhäuser Verlag, 444 pages (2003)

• 37. “I have said the 21st century might be the era of quantum mathematics or, if you like, of infinite-dimensional mathematics. What could this mean? Quantum mathematics could mean, if we get that far, ‘understanding properly the analysis, geometry, topology, algebra of various non-linear function spaces’, and by ‘understanding properly’ I mean understanding it in such a way as to get quite rigorous proofs of all the beautiful things the physicists have been speculating about.”

  Sir Michal Atiyah, Special Article—Mathematics in the 20th Century, p. 14, Bull. London Math. Soc. 34, 1–15 (2002)

• 38. The picture Tropenwunder was created by Hiltrud Heinrich and Ikosidodekaeder was created by Martin Heider. See http://www.spektrum.de/blatt/d_sdwv_extra_artikel&id=947549&_z=798888&_z=798888

• 39. See the IMAGINARY website: www.imaginary-exhibition.com