Abstract
We describe a path in the history of curvature, starting from Greek antiquity, in the works of Euclid, Apollonius, Archimedes and a few others, passing through the works of Huygens, Euler, and Monge and his students, and ending in the twentieth century at the works of Bonnesen, Fenchel, Busemann, Feller and Alexandrov. Our goal is not to review the whole history of curvature, but to show how the approaches to curves, surfaces and curvature evolved from the synthetic point of view of the Greeks to the methods of analytic geometry founded by Fermat, Descartes, Newton and Leibniz, and eventually, in the twentieth century, experienced a return to the synthetic methods of the Greeks.
God decided that quantity should exist before all other things
so that there should be a mean for comparing
a curved with a straight line.
(Johannes Kepler, Mysterium cosmographicum, 1596, [75, p. 93])
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Notes
- 1.
Metaphysics [8] 985b23; cf. also 1016b25-27.
- 2.
The other nine oppositions are: limited-unlimited, odd-even, unity-plurality, right-left, male-female, rest-motion, light-darkness, good-bad, square-oblong.
- 3.
On the heavens [9] 268b17.
- 4.
On the soul [10] 409a.
- 5.
Le cinquième livre est le monument le plus précieux du génie d’Apollonius. C’est là qu’ont paru pour la première fois les questions de maxima et de minima. On y retrouve tout ce que les méthodes analytiques d’aujourd’hui nous apprennent sur ce sujet; et l’on y reconnaît le germe de la belle théorie des développées. En effet, Apollonius prouve qu’il existe, de chaque côté de l’axe d’une conique, une suite de points d’où l’on ne peut mener à la partie opposée de la courbe qu’une normale; il donne la construction de ces points, et observe que leur continuité sépare deux espaces qui présentent cette différence remarquable, savoir: que de chaque point de l’un on peut mener deux normales à la courbe, et que d’aucun point de l’autre on n’en peut mener aucune. Voilà donc les centres d’osculation, et la développée d’une conique parfaitement déterminés. [In this paper, the translations from the French and German are ours].
- 6.
La plupart des propositions de ce livre se rapprochent d’ailleurs d’une manière frappante des théories modernes sur les normales, les sous-normales et les rayons de courbure, et l’on y trouve déjà le germe de la théorie des développées.
- 7.
Je pourrais facilement démontrer que nous sommes redevables aux horloges solaires de la découverte de ces admirables lignes courbes dont nous trouvons de très grands usages dans toutes les parties des mathématiques; car l’on ne peut considérer l’ombre de l’extrémité de quelque corps pointu sur une surface, sans s’apercevoir en même temps de la courbure que marque le chemin du soleil, qui est très semblable à celle de la section du cône droit qui aurait pour base un cercle parallèle à l’équateur, dans lequel on peut supposer que le soleil marche lorsqu’il fait cette ombre, et dont le sommet est l’extrémité du corps qui fait l’ombre.
- 8.
Huygens [72, Vol. I, No. 5].
- 9.
L’étude du droit fut pour Christiaan une tâche imposée; mais celle de la géométrie et de ses applications, et aussi de la mécanique pratique (du moins dans sa jeunesse) un pur plaisir. C’étaient bien, en matière de géométrie, les travaux d’Archimède qui l’intéressaient. Il ne pouvait se contenter des auteurs modernes.
- 10.
See e.g. letters 25, 48, 200, 210 of Volume I of the Complete works, and there are others.
- 11.
Huygens [72, Vol. XXII, p. 405].
- 12.
Huygens [72, Vol. XXII, letter No. 37].
- 13.
Huygens [72, Vol. IV, letter No. 1029].
- 14.
See e.g. the letter No. 536 in volume II of [72], dated October 18, 1658 and the letter No. 547 in the same volume, dated November 8, 1658.
- 15.
Huygens [72, Vol. I, No. 14].
- 16.
Huygens [72, Vol. IX, No. 2625].
- 17.
Nous ne voyons pas comment Huygens a obtenu ce résultat […] On voit qu’avant 1658 il s’intéressait déjà à ce qu’il appellera plus tard le rayon de courbure. […].
- 18.
Huygens wrote two versions of that letter, a preliminary one and the one he sent. Both versions are reproduced in the complete works (Huygens [72] Vol. X, No. 2693) and we quote from both.
- 19.
The Latin expression agitare nugas means to deal with bagatelles, or child’s plays. Thus, the expression difficiles agitare nugas means to occupy oneself with questions that are difficult but with no importance, which, in this context means questions that have no practical relevance.
- 20.
J’ai souvent considéré que les lignes courbes que la nature présente souvent a notre vue, et qu’elle décrit, pour ainsi dire, elle-même, renferment toutes des propriétés fort remarquables. Telles sont le cercle que l’on rencontre partout, la parabole, que décrivent les jets d’eau, l’ellipse et l’hyperbole, que l’ombre du bout du stile parcourt et qu’on rencontre aussi ailleurs, la cycloïde qu’un clou qui est dans la circonférence d’une roue décrit, et enfin notre chaînette qu’on a remarquée par tant de siècles sans l’examiner. […] Mais d’en forger de nouvelles, seulement pour y exercer sa géométrie, sans y prévoir d’autre utilité, il me semble que c’est difficiles agitare nugas, et j’ai la même opinion de tous les problèmes touchant les nombres.
- 21.
Une charrette, ou un bateau servira à quarrer l’hyperbole.
- 22.
Huygens [72, Vol. XVIII, p. 86].
- 23.
Les géomètres de notre temps l’ont appelée cycloïde et l’ont examinée avec soin à cause de ses diverses autres propriétés. Quant à nous, nous l’avons considérée à cause de cette faculté dont nous parlions, savoir celle de mesurer le temps.
- 24.
Huygens [72, Vol. X, letter 2727].
- 25.
Je crois bien que vous avez vu le cercle qui se décrit du point de la courbe évolue, et dont le rayon est la moindre droite qu’on peut mener de ce point à la courbe décrite; mais peut-être n’aviez vous pas songé d’abord à le considerer comme la mesure de la courbure, et moi lorsque j’avais considéré le plus grand cercle qui touche la courbe intérieurement comme la mesure de la courbure ou de l’angle de contact, je ne m’étais pas avisé de songer aux évolutions.
- 26.
Huygens [72, Vol. XVIII, p. 104].
- 27.
Huygens [72, Vol. XVIII], appendix III to Pars Tertia of the Horologium Osillatorium, p. 399 ff.
- 28.
Calculs et considérations sur les résistances éprouvées par différentes surfaces appartenant à des corps animés d’un mouvement uniforme à travers l’air ou l’eau et sur les vitesses que le vent peut donner à des voiliers à une seule voile supposée plane (1691), published in Vol. XXII. of [72].
- 29.
Johann Bernoulli, Solution du problème de la courbure que fait une voile enflée par le vent, 1692 and Essai d’une nouvelle théorie de la manoeuvre des vaisseaux, 1714.
- 30.
Huygens [72, Vol. XX, p. 552].
- 31.
Huygens [72, Vol. X, letter No. 2693].
- 32.
Hormis la réduction de la construction à la quadrature de l’hyperbole, ou aux logarithmes, je vois les fondements de tout ce que vous et M. Bernoulli avez de plus que moi; mais cette réduction, que j’estime fort, je ne vois pas jusqu’ici comment vous y êtes parvenus, et vous me ferez plaisir de me l’apprendre. […] je veux croire que [votre nouveau calcul] sert à faire remarquer plus facilement les diverses propriétés des lignes qu’on examine, parce que je vois que M. Bernoulli aussi bien que vous a découvert des choses touchant cette chaînette, que je ne me suis pas proposées à chercher, parce que je les croyais trop éloignées; mais à vous et lui il semble qu’elles se soient offertes.
- 33.
Huygens [72, Vol. XXII, letter LXXVIII].
- 34.
We have tried to keep the translation close to Huygens’ French, at the expense of making some passages, like the present one, look awkward.
- 35.
Le traité [de Newton] des lignes courbes, à ce que mon frère me mande, (qui le tenait de vous Monsieur) devait bientôt voir le jour, ce que j’attends avec impatience, espérant d’y apprendre toutes ces belles choses dont vous faites mention dans votre dernière, et que j’estime d’autant plus que j’en conçois la difficulté. […] Newton a des règles générales […] Comme aussi lorsque l’équation de la tangente est donnée s’il peut connaître qu’elle appartient a quelque ligne courbe. Au reste je n’entends pas ce que signifie la fluxion de la fluxion; il semble que cela veuille dire la tangente d’une ligne courbe dont dépend la courbe de la premiere fluxion mais je ne vois pas alors en quoi la difficulté devient plus grande. Je vous prie de solliciter auprès de Monsr. Newton la publication de ce traité qui sera d’une utilité merveilleuse, et lui fera grand honneur.
- 36.
See e.g. his letter to Leibniz, dated Octobre 16, 1693, in Turnbull (ed.), Correspondence of Isaac Newton, Vol. 3, p. 285.
- 37.
La haute estime que faisait Newton du style vraiment géométrique d’Huygens est la cause très probable de la méthode d’exposition qu’il a suivie lui-même dans son grand ouvrage des Principes, où il n’a guère fait usage que de démonstrations et de constructions synthétiques, en déguisant le fil qui l’avait guidé.
- 38.
Huygens [72] Vol. XVIII, appendix III to Pars Tertia of the Horologium Osillatorium, p. 399 ff.
- 39.
Cf. p. 104 of volume XVIII of Huygens’ works [72], and the editor’s note on p. 40 of the same volume.
- 40.
The fact that the curvature of the normal sections determines the curvature of all the other sections is nicely formulated by a theorem of Meusnier which we recall below.
- 41.
Ainsi le jugement sur la courbure des surface, quelque compliqué qu’il ait paru au commencement, se réduit pour chaque élément à la conaissance de deux rayons osculateurs, dont l’un est le plus grand et l’autre le plus petit dans cet élément; ces deux choses déterminent entièrement la nature de la courbure en nous découvrant la courbure de toutes les sections possibles qui sont perpendiculaires sur l’élément proposé.
- 42.
This is Johann I Bernoulli the father (1667–1748).
- 43.
Vol. II, p. 378 of [52].
- 44.
The name “courbes à double courbure” was already used by Henri Pitot (1695–1771) in a memoir titled Sur la quadrature de la moitié d’une courbe qui est la compagne des arcs, appelée la compagne de la cycloïde (On the quadrature of half of a curve which is the companion of arcs called the companion of the cycloid), presented to the Académie royale in 1724 and published 2 years later [97]. Talking about a spiral on a cylinder, Pitot writes: “The Ancients called this curve spiral or helix, because its construction on the cylinder follows the same analogy as the construction of the ordinary spiral on a plane, but it is very different from the ordinary spiral, being one of these curves with double curvature [à double courbure] or a line which one can conceive as traced out on the curved surface of a solid. [Les anciens ont nommé cette courbe spirale ou hélice, parce que sa formation sur le cylindre suit la même analogie que la formation de la spirale ordinaire sur un plan, mais elle est bien différente de la spirale ordinaire, étant une des courbes à double courbure ou une des lignes qu’on conçoit tracée sur la surface courbe des solides.] Pitot, like many other French mathematicians of that epoch, was an engineer.
- 45.
Je voudrais en être l’auteur!
- 46.
Ayant repris cette matière, à l’occasion d’un mémoire que M. Euler a donné dans le volume 1771 de l’Académie de Pétersbourg, sur les surfaces développables, et dans lequel cet illustre géomètre donne des formules pour reconnaître si une surface courbe proposée jouit ou non de la propriété de pouvoir être appliquée sur un plan, je suis parvenu à des résultats qui me semblent beaucoup plus simples, et d’un usage bien plus facile pour le même sujet.
- 47.
The fifth edition of Monge’s Applications is the most well known, because it contains extended notes by Liouville.
- 48.
Extracted from the biographical article by Taschereau [111] where the author reproduces handwritten notes by Gayvernon, vice-director of the École Polytechnique, where Monge was also teaching.
- 49.
La première fois que j’eus l’occasion de voir le jeune Meusnier, ce fut lorsqu’il vint en qualité d’élève à l’École du génie de Mézières où j’étais professeur, il avait dix-huit ans. […] Le jour même de son arrivée à Mézières, il vint me voir le soir, et il me témoigna le désir qu’il avait que je lui proposasse une question qui me mît à portée et de connaître le degré de son instruction et de juger ses dispositions. Pour le satisfaire je l’entretins de la théorie d’Euler sur les rayons de courbure maxima et minima des surfaces courbes; je lui en exposai les principaux résultats, et lui proposai d’en chercher la démonstration. Le lendemain matin, dans les salles, il me remit un petit papier qui contenait cette démonstration ; mais ce qu’il y avait de remarquable, c’est que les considérations qu’il avait employées étaient beaucoup plus directes, et la marche qu’il avait suivie était beaucoup plus rapide que celles dont Euler avait fait usage. L’élégance de cette solution, et le peu de temps qu’elle lui avait coûté, me donnèrent une idée de la sagacité et de ce sentiment exquis de la nature des choses dont il a donné des preuves multipliées dans tous les travaux qu’il a entrepris depuis. Je lui indiquai alors le volume de l’Académie de Berlin dans lequel était le mémoire d’Euler sur cet objet; il reconnut bientôt que les moyens qu’il avait employés étaient plus directs que ceux de son modèle; ils devaient être aussi plus féconds, et il parvint à des résultats qui avaient échappé à Euler. Il en composa un mémoire que j’adressai de sa part à l’Académie des Sciences et qui fut imprimé parmi ceux des savants étrangers.
- 50.
[…] admirable théorème d’Euler, qui a été pour la géométrie moderne la source des plus grands progrès: En chaque point d’une surface, les deux directions de plus grande et de moindre courbure sont constamment à angles droit.
- 51.
Le seul moyen d’ajouter quelque chose aux recherches d’un illustre devancier est de considérer le cas où les routes ne sauraient être toutes rectilignes, mais dépendent de la forme et de la pente du terrain sur lequel elles doivent être tracées. (quoted by Appell in [7]).
- 52.
- 53.
Strictly speaking, Rodrigues was not a student of Monge, but according to Taton [112], Monge considered him as his student. Rodrigues became a follower of Saint-Simon (1760–1825), the famous utopian socialist whom he met in 1823, 2 years before Saint-Simon’s death, and he became the main promoter of his ideas.
- 54.
For a comprehensive review on Cohn-Vossen’s work, we refer the reader to the article [1] by Alexandrov.
- 55.
The original German title is: Anschauliche Geometrie.
- 56.
Wir wollen hier die Geometrie in ihrem gegenwärtigen Zustand von der Seite des Anschaulichen aus betrachten. An Hand der Anschauung können wir uns die mannigfachen geometrischen Tatsachen und Fragestellungen nahebringen, und darüber hinaus lassen sich in vielen Fällen auch die Untersuchungs- und Beweismethoden, die zur Erkenntnis der Tatsachen führen, in anschaulicher Form andeuten, ohne daß wir auf die Einzelheiten der begrifflichen Theorien und der Rechnung einzugehen brauchen.
- 57.
Wir legen einen Kreis durch P 1 und zwei benachbarte Punkte auf der Kurve. Wenn wir dann die beiden Nachbarpunkte auf der Kurve gegen P 1 rücken lassen, nähert sich der Kreis einer Grenzlage. […] Man nennt diesen Kreis den Krümmungskreis der Kurve in P 1. […] Der angegebenen Konstruktion wegen pflegt man zu sagen, daß der Krümmungskreis drei zusammenfallende Punkte mit der Kurve gemein hat. Ebenso sagt man, die Tangente hat mit der Kurve zwei zusammenfallende Punkte gemein.
- 58.
Die Schmiegungsebene hat im früher erläuterten Sinn drei zusammenfallende Punkte mit der Kurve gemein.
- 59.
Bernoulli writes: Voco autem planum osculans quod transit per tria curvae quaesitae puncta infinite sibi invicem propinqua. (I also call an osculating plane one that passes through three points on the given curve that are infinitely close to each other).
- 60.
Cf. the English translation of the whole article in [25, Vol. 1, p. 235].
- 61.
A letter written on July 23, 1956, from the editor-in-chief of Interscience Publishers Inc. (with copies to Courant, Stocker and Bers) starts with: “It is with very special pleasure indeed that we learn from Dr. Stocker of your willingness to preset in our Tracts series an account of important recent development of the work of certain Russian geometers.” (A copy of the letter is kept with Courant’s correspondence at the Elmer Holmes Bobst Library in New York University).
- 62.
There are AMS Mathematics Subject Classification codes that carry the names of Alexandrov and Busemann geometries.
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A’Campo-Neuen, A., Papadopoulos, A. (2019). A Path in History, from Curvature to Convexity. In: Dani, S.G., Papadopoulos, A. (eds) Geometry in History. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-13609-3_7
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