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Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls

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Literatur

  1. Vgl. P. Bernays, Axiomatische Untersuchung des Aussagenkalküls der “Principia Mathematica”. Math. Zeitschr. 25, 1926.

  2. Es stimmt (bis auf das von P. Bernays als überflüssig erwiesene associative principle) mit dem in Princ. Math., I, Nr. 1 und Nr. 10, gegebenen überein.

  3. Diese sind bei Russell-Whitehead nicht alle explizit formuliert, werden aber in den Deduktionen fortwährend verwendet.

  4. Ein analoger Satz gilt für v statt &.

  5. Vgl. Hilbert-Ackermann, Grundz. d. theor. Logik, III, § 8.

  6. Vgl. die in Fußnote 2) zitierte Arbeit P. Bernays, Axomatische Untersuchung des Aussagenkalküls der “Principia Mathematica”. Math. Zeitschr. 25, 1926.

  7. “Erfüllbar” ohne Zusatz bedeutet hier und im folgenden immer: “erfüllbar im abzählbaren Individuenbereich”. Dasselbe gilt für “allgemeingültig”.

  8. Die Variablenx, y sollen in (P) nicht vorkommen.

  9. Im selben Sinn wird der Terminus “Grad eines Präfixes” verwendet.

  10. Ein analoges Verfahren hat Th. Skolem zum Beweise des Löwenheimschen Satzes verwendet. Vidersk. Skrifter, Christiania 1920.

  11. Daß ein System {f 1,f 2...f k ;w 1,w 2...w l } Teil eines anderen {g 1,g 2...g k ;v 1,v 2...v l } ist, soll bedeuten, daß: 1. der Individuenbereich derf i Teil des Individuenbereiches derg i ist, 2. dief i undg i innerhalb des engeren Bereiches übereinstimmen, 3. für jedesi v i =w i ist.

  12. Falls inA auch Aussagevariable vorkommen, muß natürlichS außer Funktionen noch Wahrheitswerte für diese Aussagevariablen enthalten.

  13. Und zwar in einem höchstens abzählbaren Denkbereich (er besteht ja aus elementfremden Klassen des abzählbaren Individuenbereichs Σ).

  14. Als Beixpiel kann etwa das Hilbertsche Axiomensystem der Geometrie ohne die Stetigkeitsaxiome dienen.

  15. Vgl. die in Fußnote 2) zitierte Arbeit.

  16. D. h. die einstelligen FunktionsvariablenF,G... etc. mit einem vorgesetzten Alloperator, dessen Wirkungsbereich lediglich das betreffendeF, G... mit der zugehörigen Individuenvariablen ist.

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  1. Wien, Austria

    Kurt Gödel

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  1. Kurt Gödel
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Einige wertvolle Ratschläge bezüglich der Durchführung verdanke ich Herrn Prof. H. Hahn.

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Gödel, K. Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. Monatsh. f. Mathematik und Physik 37, 349–360 (1930). https://doi.org/10.1007/BF01696781

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