This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Literatur
Die Arbeit ist die Fortsetzung meiner Dissertation “Stetige Mengen”, Monatsh. f. Math. u. Phys. 31 (1921), S. 173–204. Diese sei hier immer als I zitiert.
Vgl. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre 1914, S. 290 ff., wo von einem ähnlichen Ausgangspunkt aus ein ganz anderer Weg eingeschlagen wird.
Wir sagen kurz, “zwei Mengen schneiden einander,” wenn ihr Durchschnitt nicht leer ist.
Diese Menge defiuiert Caratheodory (Vorlesungen über reelle Funktionen, 1918, S. 40) als Umgebung vonM.
Wir bezeichnen durchgängig die Ableitung einer MengeM mitM′.
Für Hausdorffs Fassung der Axiome gilt dies nicht.
In der Ebene z. B. das System der kreisförmigen Umgebungen und das der dreieckigen.
Nur wegen der Bezugnahme auf I verwende ich hier nicht den Namen “obere Näherungsgrenze”, der sich bei Hahn, Theorie der reellen Funktionen 1921, S. 74, für Mengenfolgen definiert findet.
Vgl. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre 1914, a. a. O., S. 384, wo gleichmäßige und uniforme Konvergenz für Funktionenfolgen definiert sind. Die notwendige Verallgemeinerung auf orientierte Mengen zweiter Ordnung liegt auf der Hand.
Vgl. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre 1914, a. a. O., S. 359.
Es ist bemerkenswert, daß (2), (3), (4) ohne sie abgeleitet sind.
Es wäre nicht ohne Wert zu wissen, ob (F) aus (A) bis (F′) und der Lückenlosigkeit des Bereiches folgt. So folgt z. B. unser (E) aus dieser und (A), (B), (C), (D). “Lückenlos” wird übrigens mit der Einführung von (F) gleichbedeutend mit “kompakt und abgeschlossen”.
“Sur quelques points du calcul fonctionnel”. Rendiconti Palermo 22 (1906), p. 1–74.
Fréchet, a. a. O., S. 18.
Hausdorff, a. a. O. Grundzüge der Mengenlehre 1914, S. 273.
a. a. O. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre 1914, S. 24.
Sitzgsber. Ak. Wien 1914, S. 2433–2489, Charakterisierung der stetigen Kurve.
Vgl. I, (34), (35).
Vgl. Hahn, Theorie der reellen Funktionen, S. 87, XVI, von wo der folgende Beweis fast wörtlich übernommen ist. Hahn hat für diesen Satz noch einen anderen Beweis auf Grund ganz allgemeiner Voraussetzungen gegeben [Fund. Math. II (1921), S. 189], der sich hier aber nicht einordnet. — Vgl. auch Kuratowski, Fund. Math. I (1919), S. 40 ff.
Gebiet=offene, stetige Menge.
offener Kern vonU=Menge aller inneren Punkte vonU.
Ich vermochte nicht zu entscheiden, ob diese hier wirklich nicht entbehrt werden können; dagegen werde ich in der Fortsetzung dieser Arbeit zeigen, daß eine “vernünftige” Topologie ohne sie nicht besteht.
Dieser Satz stammt von Hahn, Sitzungsber. Ak. Wien 1914, S. 2436, wo er aber für einen anderen, weiteren Begriff des Bogens (eindeutiges stetiges Bild einer Strecke) behauptet und bewiesen ist.
Aus (33) folgert man auch, daß in unserem Bereich jedes Gebiet zu irgend zweien seiner Punkte ein sie verbindendes Kontinuum enthält. Dies ist nicht allgemein richtig, wenn man den Bereich nicht als im Kleinen stetig voraussetzt. Daher deckt sich eine auf dieser Eigenschaft beruhende Definition des Gebietes nicht mit unserer.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Vietoris, L. Bereiche zweiter Ordnung. Monatsh. f. Mathematik und Physik 32, 258–280 (1922). https://doi.org/10.1007/BF01696886
Published:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01696886