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Idealtheorie in Quaternionenalgebren

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  1. Hier kommen namentlich die folgenden Arbeiten in Betracht: I. Zur Komposition der quaternären quadratischen Formen (Dissertation, Straßburg 1912), Journal für reine und angewandte Mathematik143 (1913), S. 106. II. Der Kompositionsbegriff bei den quaternären quadratischen Formen, Math Annalen91 (1924), S. 300. III. Die Hauptklassen in der Kompositionstheorie der quaternären quadratischen Formen, Math. Annalen94 (1925), S. 166. IV. Über die Komponierbarkeit quaternärer quadratischer Formen, Math. Annalen94 (1925), S. 179.

  2. Dedekindsche Algebra=Algebra ohne Radikal, in Anlehnung an die Frobeniussche Bezeichnung Dedekindsche Gruppe. Vgl. Frobenius, Theorie der hyperkomplexen Größen, Sitzungsberichte der Berliner Akademie 1903, S. 509.

  3. Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes, Math. Annalen96 (1926), S. 360.

  4. Über die Resultate dieser Arbeit habe ich bereits am 30. August 1926 in Freiburg (Schweiz) auf der Tagung der Schweizer Mathematischen Gesellschatt vorgetragen. Vgl. Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft 1926, II. Teil, S. 155, oder L'Enseignement Mathématique25 (1926), S. 290.

  5. A. Hurwitz, Zahlentheorie der Quaternionen, Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften Göttingen 1896 und Vorlesungen über die Zahlentheorie der Quaternionen. Berlin 1919.

  6. Vgl. auch L. E. Dickson, Algebras and their Arithmetics, Chicago 1923, S. 148, oder zweite Auflage in deutscher Sprache, herausgegeben von A. Speiser, Algebren und ihre Zahlentheorie, Zürich 1927, S. 157.

  7. In derselben Weise werden die Rechts- und Linksideale auch von Herrn Speiser definiert [Allgemeine Zahlentheorie, Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich71 (1926)=6) Vgl. auch L. E. Dickson, Algebras and their Arithmetics, Chicago 1923, S. 148, zweite Auflage, Kap. XIII], während bei Hurwitz die Bezeichnungen vertauscht sind.

  8. Siehe etwa 6), Vgl. auch L. E. Dickson, Algebras and their Arithmetics, Chicago 1923, S. 31, erste Auflage

  9. Σ bedeutet eine Summation über die Indizes 0, 1, 2, 3. Summationsindizes werden durchi, j, k, feste Indizes durch κ, λ, μ, ν bezeichnet.

  10. III, S. 168.

  11. Die Richtigkeit der Behauptung ergibt sich leicht direkt durch Ausrechnen daraus, daß die zuO adjungierte SubstitutionO selbst ist. Vgl. auch IV, S. 192.

  12. Hurwitz sagt Quaternionenkörper, ich habe selbst diesen Ausdruck in dem unter 4) Vgl. Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft 1926, II. Teil, S. 155, genannten Vortrag gebraucht; doch scheint es mir jetzt zweckmäßiger, den Ausdruck Körper auf Divisionsalgebren mit kommutativer Multiplikation zu beschränken.

  13. Die allgemeine von Dedekind stammende Definition der Diskriminante liefert den—16-fachen Wert von unserer Diskriminante. Siehe etwa Speiser a. a. O. 7), [Allgemeine Zahlentheorie, Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich71 (1926), S. 20.

  14. I, S. 110 oder II, S. 302.

  15. Vgl. II, S. 302.

  16. I, S. 118.

  17. I, S. 122 und II, S. 309.

  18. II, S. 308 oder 309.

  19. II, S. 303.

  20. D. h. sie sind halb genommene uneigentlich primitive Formen.

  21. Dabei heißt eine rationale Zahla durch eine rationale Zahlb teilbar, wenn der Quotienta/b eine ganze Zahl ist.

  22. Diese Definition mag vielleicht auf den ersten Blick befremden, doch werden sich bald weitere charakteristische Eigenschaften unserer Ideale ergeben, die einen Zusammenhang mit den üblichen Definitionen eines Ideals in einem algebraischen Zahlkörper herstellen. (Übrigens wird auch in einem algebraischen Zahlkörper ein Modul durch eine ähnliche Forderung, nämlich die Gleichheit von Determinante und Norm als Ideal charakterisiert.)

  23. IV, S. 180.

  24. L. Euler, Opera omnia, I. Serie,6, S. 309

  25. L. Euler, Opera omnia, IV, Serie,6, S. 186 ff.

  26. L. Euler, Opera omnia, IV, Serie,6, S. 195.

  27. Vgl. hierzu Brandt, Über das assoziative Gesetz bei der Komposition der quaternären quadratischen Formen. Math. Annalen96, (1926), S. 353.

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  28. II, S. 308 ff.

  29. III, S. 171.

  30. Die links und rechts zugehörigen Einheitsideale können in Anlehnung an den Dedekindschen Begriff der Ordnung eines Moduls auch als Links- und Rechtsordnung von a aufgefaßt und hergeleitet werden.

  31. I, S. 111, oder Bilineare Transformation quadratischer Formen, Math. Zeitschr.20 (1924), S. 153.

  32. Sinde 1 unde 2 Einheitsideale, so wird also ein beliebiger Modula durch jede dieser beiden Modulgleichungen als Ideal charakterisiert (vgl. 3).

  33. IV, S. 180.

  34. IV, S. 192.

  35. Die sämtlichenA, welche dasselbeM liefern, ergeben auch dasselbeN und umgekehrt.

  36. IV, S. 187.

  37. Vgl. F. K. Schmidt, Bemerkungen zum Brandtschen Gruppoid. Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie 1927, 8. Abh, S. 94.

  38. Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft 1924, II. Teil, S. 102.

  39. Siehe auch III, S. 172 Fußnote.

  40. Die §§ 57–67 haben bei der Korrektur im Dezember 1927 eine vollständige Umarbeitung erfahren wegen eines irrtümlichen Diskriminantensatzes in der früheren Darstellung, der mich veranlaßt hatte, meine bereits vor mehreren Jahren auf dem Begriff der Relativkomposition beruhenden Untersuchungen über die Kompositionstafeln der Formenklassen (vgl. meine Vorträge in Nauheim 1920 und Luzern 1924) bei maximalen Ordnungen (Stammformen) für entbehrlich zu halten. Diese Untersuchungen erscheinen hier in den §§ 63–67 in ganz neuer Form, so daß zugleich ihre Verallgemeinerung auf beliebige Dedekindsche Algebren ersichtlich ist. Die §§ 57–62 sind auch mhaltlich neu und aus dem Gedanken entstanden, den Faktorgruppoidbegriff in allgemeinerer Auffassung für die Klassenbildung zu benutzen. Den Hinweis auf das Versehen verdanke ich Herrn Artin, der übrigens in seiner im März 1927 erschienenen, mir aber erst nach Abschluß der Fahnenkorrektur bekannt gewordenen, daher oben nicht berücksichtigten Arbeit “Zur Arithmetik hyperkomplexer Größen”, Hamburger Abhandlungen 1927, S. 282 einen wesentlichen Teil des in der Einleitung genannten allgemeinen Satzes vom Gruppoid der Ideale bewiesen hat.

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Brandt, H. Idealtheorie in Quaternionenalgebren. Math. Ann. 99, 1–29 (1928). https://doi.org/10.1007/BF01459083

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