Résumé

Soit E l'ensemble des points, D celui des droites, appelons X l'ensemble des points d'un (n+1)-arc. On obtient alors une partition de D en considérant F l'ensemble des droites rencontrant X en deux points, X′ l'ensemble de celles qui le rencontrent en un point et L=(D\F)\X′. Ce dernier ensemble est composé des droites ne rencontrant pas X. De facon similaire l'ensemble des points se partitionne alors en X l'ensemble des points contenus dans une seule droite de X′, F′ l'ensemble des points qui sont contenus dans deux droites de X′ et L′ celui des points contenus dans aucune droite de X′.

Les structures (X, F) et (X′, F′) sont isomorphes au graphe complet K_{n + 1}.

Lorsque n = 5, (L, F′) et (L′, F) sont deux graphes isomorphes au graphe de Petersen (On trouve d'ailleurs aussi le graphe de Petersen comme sous structure de Pg(2,4).)

Lorsque n > 5 il est donc naturel de considérer ces structures comme des généralisations du graphe de Petersen. Ce sont alors des hypergraphes (n-1)/2-uniformes, (n+1)/2-réguliers. Dans ce papier on donne une méthode de description de ces hypergraphes qui apparaissent alors, ainsi que le graphe de Petersen, comme un couplage parfait complété par (n-1)/2 n-ensembles d'arêtes. Comme dans le graphe de Petersen ces n-ensembles d'arêtes induisent une partition des sommets en(n-1)/2 ‘couches’ telles que chaque arête du couplage parfait initial a un sommet dans chaque couche. Les constructions proposées sont simplement décrites, et non prouvées. Elles nous paraissent tout à fait générales; pour certaines d'entre elles la preuve de cette généralité n'est pas tout à fait évidente.

Abstract

Let E be the set of points, D the one of lines, and X the set of points of an (n + 1)-arc. Thus, we have a partition of D considering F as the set of lines meeting X in two points, X′ the set of lines meeting X in one point and L=(D\F)\X′. This set is composed of lines with no intersection with X. Similarly, the set of points is partitioned into X, the set of points contained in one single line of X′, F′ the set of points contained in two lines of X′, and L′ the set of points contained in no line of X′.

The structures (X, F) and (X′, F′) are isomorphic to K_{n + 1}, the complete graph.

When n = 5, (L, F′) and (L′, F) are two graphs isomorphic to the Petersen graph (one finds also the Petersen graph as a substructure of Pg(2, 4)).

When n > 5, it is thus natural to consider those structures as generalisations of the Petersen graph. They are, thus, (n – 1)/2-uniform, (n + 1)/2-regular hypergraphs.

In this paper we give a description method of these hypergraphs, which look, like the Petersen graph, as a perfect matching completed by (n – 1)/2 n-sets of edges. As in the Petersen graph, these n-sets of edges induce a partition of the vertices into (n – 1)/2 levels such that each edge of the initial perfect matching has one vertex in each level. The proposed constructions are simply described without proof. However, they seem to be general; for some of these the proof may not be too easy.